The ENUMATH conferences were established in 1995 in order to provide a forum for discussion on recent topics of numerical mathematics. They seek to bring together leading experts and young scientists, with special emphasis on contributions from Europe.In the second ENUMATH conference in 1997, recent results and new trends in the analysis of numerical algorithms as well as their application to challenging scientific and industrial problems were discussed. Apart from theoretical aspects, a major part of the conference was devoted to numerical methods in interdisciplinary applications.The topics covered in this proceedings include: higher order finite element methods, non-matching grids, least-squares methods for partial differential equations, multiscale analysis, boundary element method, optimization in partial differential equations, solid mechanics, microstructures, computational fluid dynamics, computational electrodynamics and semiconductors.

On s'intéresse à la résolution numérique des équations de la mécanique des fluides pour un écoulement, incompressible, visqueux, isotherme, bidimensionnel. La discrétisation temporelle est effectuée en utilisant une formulation d'Euler-Lagrange est une discrétisation de type différences finies: méthode à deux demi-pas fractionnaires principaux. La discrétisation spatiale est de type éléments finis. Afin de pouvoir mailler aisément des configurations géométriques diverses, le domaine de calcul est subdivisé en éléments triangulaires à trois nœuds où la vitesse est linéaire et la pression constante, élément pouvant se raccorder avec des éléments quadrilatères où la vitesse est bilinéaire. Le maillage engendré est non structuré. Le système linéaire fournissant le «champ de pression, obtenu en écrivant que l'équation de continuité est satisfaite pour tout élément est, avec ce type de discrétisation spaciale, singulier. Deux principales méthodes permettant d'éviter cette singularité sont présentées: la méthode de pseudo-compressibilité et la méthode de pénalité. L'équation de continuité n'est plus exactement satisfaite. Le code de calcul réalisé, utilisant la méthode de pénalité, est opérationnel et a permis d'effectuer de nombreux essais fixant les limites d'utilisation de cette méthode

CETTE THESE EST CONSACREE A L'ETUDE NUMERIQUE DE L'ECOULEMENT INCOMPRESSIBLE DE DEUX FLUIDES NON MISCIBLES. LA METHODE NUMERIQUE COMPORTE TROIS VOLETS: ? REPRESENTATION ET SUIVI DE L'INTERFACE. ? MODELISATION DE LA FORCE CAPILLAIRE. ? RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES. LA METHODE DE VOLUME DE FLUIDE EST UTILISEE POUR SUIVRE L'INTERFACE: L'INTERFACE EST RECONSTRUITE PAR UN SEGMENT EN 2D (UN POLYGONE EN 3D) ET L'INTERFACE AINSI RECONSTRUITE EST ADVECTEE PAR UNE METHODE LAGRANGIENNE. LES RESULTATS POUR DE SIMPLES TESTS, LA TRANSLATION ET LA ROTATION DE L'INTERFACE, SONT SATISFAISANT EN 2D ET EN 3D. LES EQUATIONS DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT SONT DISCRETISEES PAR UNE METHODE DE PROJECTION: NOUS AVONS UTILISE D'UNE PART, UNE METHODE MAC POUR LE MAILLAGE CARTESIEN, D'AUTRE PART, NOUS AVONS DEVELOPPE EN 2D UNE METHODE COLOCATIF POUR LE MAILLAGE CURVILIGNE. L'EQUATION DE POISSON POUR LA PRESSION EST OBTENUE A PARTIR DE L'EQUATION DE LA CONTINUITE ET RESOLUE PAR UNE METHODE DE MULTIGRILLE ROBUSTE ET EFFICACE. LA MODELISATION DE LA FORCE CAPILLAIRE EST REALISEE A L'AIDE DU MODELE DE TENSEUR CAPILLAIRE CONTINU. NOTRE METHODE NUMERIQUE EST VALIDEE EN COMPARANT AVEC UNE THEORIE LINEAIRE DE L'INSTABILITE DE KELVIN-HELMHOLTZ ET APPLIQUEE A L'ATOMISATION

LA METHODE DE TREFFTZ EST UNE APPROXIMATION CONSTRUITE A PARTIR DE FONCTIONS QUI VERIFIENT LES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES QUI REGISSENT LE PROBLEME POSE. CETTE TECHNIQUE PEUT-ETRE TRES UTILE DANS UN PROCESSUS D'OPTIMISATION DE FORME CAR ELLE PERMET D'OBTENIR UNE BONNE APPROXIMATION DE LA SOLUTION A PARTIR D'UN FAIBLE NOMBRE DE DEGRES DE LIBERTE. DANS LE TRAVAIL PRESENTE ICI, NOUS AVONS UTILISE LA METHODE DE TREFFTZ POUR RESOUDRE LE PROBLEME D'ECOULEMENT DE FLUIDES VISQUEUX INCOMPRESSIBLES EN REGIME STATIONNAIRE. DE TELS ECOULEMENTS SON REGIS PAR LES EQUATIONS DE STOKES. NOUS AVONS DONC PRESENTE LA CONSTRUCTION DE L'ESPACE DES FONCTIONS DE TREFFTZ QUI VERIFIENT LES EQUATIONS DE STOKES EN DEFORMATION PLANE ET DANS LE CAS GENERAL TRIDIMENSIONNEL. NOUS MONTRONS QU'IL EST POSSIBLE DE TIRER AVANTAGE DE CETTE METHODE POUR UNE EVALUATION RAPIDE DES CHAMPS DE PRESSION ET DE VITESSE, AINSI QUE LA DETERMINATION DE LA SURFACE LIBRE. ENFIN, NOUS AVONS APPLIQUE CETTE METHODE A UN PROBLEME DE MICRO MECANIQUE, IL S'AGIT D'UNE SUSPENSION RIGIDE DE FORME SPHEROIDALE DANS UN FLUIDE VISQUEUX INCOMPRESSIBLE.

AUJOURD'HUI, LES METHODES DE SIMULATION NUMERIQUE D'ECOULEMENTS DE FLUIDES PARFAITS EN AERODYNAMIQUE, MODELISES PAR LES EQUATIONS D'EULER, SONT EFFICACES ET TRES UTILISEES. POUR UNE MEILLEURE COMPREHENSION DES PHENOMENES PHYSIQUES PLUS COMPLEXES, L'ETAPE SUIVANTE CONSISTE A METTRE EN UVRE DES METHODES EFFICACES DE RESOLUTION D'ECOULEMENTS DE FLUIDES VISQUEUX COMPRESSIBLES, MODELISES PAR LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES. L'ETUDE QUE NOUS PRESENTONS FAIT SUITE A LA MISE EN PLACE D'UN CODE DE RESOLUTION DES EQUATIONS D'EULER EN DIMENSION 2 ET CONSISTE EN L'IMPLEMENTATION DE LA RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES COMPRESSIBLES BIDIMENSIONNELLES. NOUS SUIVONS LA DEMARCHE SUIVANTE: 1) NOUS RAPPELONS LA NATURE MATHEMATIQUE DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES; 2) NOUS CHERCHONS A DEFINIR DES CONDITIONS AUX LIMITES STABLES A PARTIR D'UNE METHODE D'ENERGIE POUR AVOIR UN PROBLEME BIEN POSE; 3) NOUS RESOLVONS NUMERIQUEMENT LES EQUATIONS A PARTIR DU SCHEMA DE LAX-WENDROFF A 1 PAS DE TEMPS ASSOCIE A LA METHODE DES VOLUMES FINIS POUR L'INTEGRATION EN ESPACE, NOUS ETUDIONS SA STABILITE ET IMPLEMENTONS LES CONDITIONS AUX LIMITES PROPOSEES; 4) UNE SERIE DE TESTS CLASSIQUES NOUS PERMET DE VALIDER LES DIFFERENTES OPTIONS CHOISIES; 5) DANS UNE DERNIERE PARTIE NOUS ETUDIONS ET METTONS EN UVRE DEUX TECHNIQUES D'ACCELERATION DE LA CONVERGENCE CORRESPONDANT A LA METHODE MULTIGRILLE ET A LA METHODE DE SEQUENCE DE GRILLES