DANS LE DOMAINE DE LA COMPTABILITE ELECTROMAGNETIQUE (C.E.M.), LA CONNAISSANCE PAR SIMULATION EST DESORMAIS EN TRAIN DE DETRONER LA CONNAISSANCE PAR ENREGISTREMENT. LA COMPLEXIFICATION ET L'AUGMENTATION DE LA TAILLE DES APPLICATIONS NECESSITE L'UTILISATION DE METHODES NUMERIQUES DE PLUS EN PLUS PRECISES ET PERFORMANTES. DANS CETTE ETUDE, NOUS PROPOSONS UNE METHODE DE VOLUMES FINIS POUR LA RESOLUTION DES EQUATIONS DE MAXWELL INSTATIONNAIRES ET HARMONIQUES. L'ACCENT EST MIS DANS UN PREMIER TEMPS SUR LA CONSTRUCTION DU SCHEMA A PARTIR DES EQUATIONS DE MAXWELL SOUS FORME CONSERVATIVE, EN EXPLOITANT LE CARACTERE HYPERBOLIQUE DU SYSTEME DE MAXWELL. DE NOMBREUSES VALIDATIONS ET COMPARAISONS NUMERIQUES PRESENTEES DANS CE MEMOIRE, AUSSI BIEN DANS LE DOMAINE TEMPOREL QUE FREQUENTIEL, SOULIGNENT L'INTERET ET LES AVANTAGES D'UN TEL SCHEMA. EN PREMIERE LIGNE, FIGURE L'UTILISATION DE MAILLAGES NON STRUCTURES AUTORISANT UNE DESCRIPTION CONFORME DES OBJETS ETUDIES ET LA PRISE EN COMPTE DE FACON NATURELLE ET EXACTE DES DISCONTINUITES AUX INTERFACES. L'INTRODUCTION ET LA VALIDATION D'UN FORMALISME DE FIL MINCE EN VUE DE TRAITER DES PROBLEMES DE C.E.M. SONT EGALEMENT PRESENTES. ENFIN, LE PRINCIPE D'UNE HYBRIDATION AVEC LES DIFFERENCES FINIES EST ABORDE AINSI QUE L'UTILISATION DE L'APPROCHE TEMPORELLE ET FREQUENTIELLE DES VOLUMES FINIS DANS LES TECHNIQUES MULTI-DOMAINES/MULTI-METHODES.

Nous développons et étudions une méthode de volumes finis pour résoudre le système de Maxwell instationnaire bidimensionnel sur des maillages presque quelconques (non-conformes, non-convexes, aplatis..). Nous commençons par la construction du schéma, qui est basé sur l'utilisation des opérateurs discrets de la méthode DDFV et sur un choix pertinent pour la discrétisation des conditions initiales et des conditions aux limites. Ensuite, nous prouvons que ce schéma préserve localement la condition de divergence, que l'énergie électromagnétique discrète est conservée ou décroissante (selon les conditions aux limites) et qu'elle est positive sous condition CFL. Nous montrons aussi la stabilité du schéma sous condition CFL et sa convergence dans les cas de champs réguliers et non réguliers. Ces résultats sont ensuite validés, numériquement avec quelques cas tests sur différents types de maillages. Nous vérifions aussi que l'utilisation des maillages non conformes n'amplifie pas les réflexions parasites. Enfin nous couplons ce schéma avec une méthode PIC pour résoudre le système de Maxwell-Vlasov. Nous calculons la densité de courant avec une généralisation de la méthode de Buneman à des maillages quelconques et nous montrons la conservation des équations de charge discrètes, ce qui permet de conserver la loi de Gauss. Le problème couplé est validé numériquement et la simulation de l'amortissement Landau confirme la décroissance de l'énergie, portée par le champ électrique, avec une précision dépendant du nombre de particules par maille.

CE TRAVAIL A CONSISTE ESSENTIELLEMENT EN L'ELABORATION DE METHODES EFFICACES EN VOLUMES FINIS POUR LA RESOLUTION DU SYSTEME DE MAXWELL DANS LE DOMAINE TEMPOREL ET POUR DES MAILLAGES NON STRUCTURES. LE BUT AINSI RECHERCHE EST D'OBTENIR UNE EXCELLENTE PRECISION SUR LES RESULTATS TOUT EN ETANT CAPABLE DE SIMULER DES PROBLEMES DE PLUS EN PLUS REALISTES POUR DES COUTS EN TEMPS DE CALCUL RAISONNABLES. NOUS PRESENTONS DANS UN PREMIER TEMPS LES EQUATIONS DE MAXWELL SOUS FORME CONSERVATIVE AINSI QUE LE CARACTERE HYPERBOLIQUE DE CE SYSTEME. LA SECONDE PARTIE TRAITE DE L'APPROXIMATION NUMERIQUE UTILISEE. IL S'AGIT D'UNE METHODE EXPLICITE DE TYPE VOLUMES FINIS CENTRES AUX NOEUDS ET D'ORDRE TROIS EN ESPACE ET EN TEMPS. LA TROISIEME PARTIE EST CONSACREE A L'ADAPTATION DES CONDITIONS ABSORBANTES DE TYPE BERENGER, OU ENCORE MILIEU PML, INITIALEMENT INTRODUITE POUR DES METHODES DE TYPE DIFFERENCES FINIS, A NOTRE METHODE TEMPORELLE DE TYPE VOLUMES FINIS EN MAILLAGE NON STRUCTURE. DES CAS TESTS NUMERIQUES DE VALIDATION EN DEUX ET TROIS DIMENSIONS D'ESPACE Y FIGURENT. UNE ETUDE D'UNE CLASSE DE - SCHEMAS, DEVELOPPEE DANS LE BUT DE DIMINUER LA DIFFUSION NUMERIQUE SANS AUGMENTER LE COUT EN TEMPS DE CALCUL A EGALEMENT ETE MENEE ET VALIDEE SUR L'EQUATION SCALAIRE D'ADVECTION BIDIMENSIONNELLE AINSI QUE SUR LE SYSTEME DE MAXWELL. DE PLUS, LA METHODE DE VOLUMES FINIS PRESENTEE POUR DES MAILLAGES MONO-ELEMENTS A ETE ETENDUE A DES MAILLAGES DE TYPE MULTI-ELEMENTS A ETE ETENDUE A DES MAILLAGES DE TYPE MULTI-ELEMENTS EN DEUX DIMENSIONS D'ESPACE. ENFIN, ON TROUVERA A LA FIN DE CE MEMOIRE UNE BIBLIOGRAPHIE NON EXHASTIVE SUR LES CONDITIONS ABSORBANTES POUR LA PROPAGATION D'ONDES EN DOMAINE NON BORNE.