Cette thèse est consacrée à l'analyse mathématique, la résolution numérique et la modélisation des équations de transport. Dans un premier temps, on s'intéresse à l'approximation numérique de la solution des équations de transport par un schéma mixte-hybride. On introduit et étudie une formulation mixte de l'équation du transport. L'étude du problème variationnel mixte est menée avant d'en présenter sa discrétisation et les propriétés fondamentales du schéma obtenu. On s'attache en particulier à démontrer l'efficacité de la méthode dans la limite de diffusion (lorsque le libre parcours moyen des particules est petit devant les dimensions caractéristiques du domaine physique). On présente des cas tests académiques permettant de comparer notre schéma à d'autres méthodes dans des configurations physiques variées et de valider notre schéma sur des cas tests analytiques. On s'applique à valider le schéma sur des maillages non structurés même très déformés tels que ceux issus de l'hydrodynamique lagrangienne. Une seconde partie de la thèse consiste à étudier deux problèmes de transport. Le premier problème est une étude de la diffusion due aux conditions aux limites dans un problème de transport entre deux plaques planes. L'autre problème consiste à modéliser et simuler les phénomènes de transfert radiatif dans le cadre industriel de la fusion par confinement inertiel.

This thesis focuses on iterative methods for the treatment of the steady state neutron transport equation in slab geometry, bounded convex domain of Rn (n = 2,3) and in 1-D spherical geometry. We introduce a generic Alternate Direction Implicit (ADI)-like iterative method based on positive definite and m-accretive splitting (PAS) for linear operator equations with operators admitting such splitting. This method converges unconditionally and its SOR acceleration yields convergence results similar to those obtained in presence of finite dimensional systems with matrices possessing the Young property A. The proposed methods are illustrated by a numerical example in which an integro-differential problem of transport theory is considered. In the particular case where the positive definite part of the linear equation operator is self-adjoint, an upper bound for the contraction factor of the iterative method, which depends solely on the spectrum of the self-adjoint part is derived. As such, this method has been successfully applied to the neutron transport equation in slab and 2-D cartesian geometry and in 1-D spherical geometry. The self-adjoint and m-accretive splitting leads to a fixed point problem where the operator is a 2 by 2 matrix of operators. An infinite dimensional adaptation of minimal residual and preconditioned minimal residual algorithms using Gauss-Seidel, symmetric Gauss-Seidel and polynomial preconditioning are then applied to solve the matrix operator equation. Theoretical analysis shows that the methods converge unconditionally and upper bounds of the rate of residual decreasing which depend solely on the spectrum of the self-adjoint part of the operator are derived. The convergence of theses solvers is illustrated numerically on a sample neutron transport problem in 2-D geometry. Various test cases, including pure scattering and optically thick domains are considered.

Résolution numérique d'une équation diffusion-transport modélisant le déplacement d'un fluide par un autre dans un milieu poreux. Approximation par une méthode d'éléments finis espace-temps. Résultats numériques. Etude du cas linéaire. Conditions de stabilité. Etude numérique d'un problème d'homogénéisation non périodique

FORME AUTO-ADJOINTE DE L'EQUATION DU TRANSPORT. FORMULATION VARIATIONNELLE. APPROXIMATION ET APPLICATION DES ELEMENTS FINIS. ASSEMBLAGE ET RESOLUTION. DESCRIPTION AU CODE ET RESULTATS NUMERIQUES. CONDITIONS DE REFLEXION.

POUR LA GEOMETRIE CARTESIENNE, LA FORMULATION MIXTE DUALE DE L'EQUATION DE LA DIFFUSION (L'INCONNUE PRINCIPALE EST ALORS LE COURANT NEUTRONIQUE) ; AINSI QUE L'UTILISATION D'UN ESPACE D'APPROXIMATION BASE SUR LES ELEMENTS FINIS DE RAVIART THOMAS CONDUIT A UN SYSTEME MATRICIEL CREUX DONT LES COUPLAGES SONT UNIQUEMENT ORIENTES SELON LES AXES. CECI PERMET UNE RESOLUTION RAPIDE DES EQUATIONS PAR BALAYAGE DE TYPE DIRECTIONS ALTERNEES AVEC UN FORT TAUX DE VECTORISATION. UN SOLVEUR UTILISANT CES PROPRIETES A ETE DEVELOPPE ET RECEMMENT ETENDU A LA RESOLUTION DES EQUATIONS DU TRANSPORT SIMPLIFIE. LE TRAVAIL DE THESE PRESENTE ICI ETEND LA METHODE PRECEDENTE AU TRANSPORT EXACT. POUR CE FAIRE ON UTILISE LA FORME PAIRE IMPAIRE DES EQUATIONS DU TRANSPORT, ET EN PARTICULIER LA FORMULATION VARIATIONNELLE IMPAIRE. POUR L'APPROXIMATION ANGULAIRE ON EFFECTUE UN DEVELOPPEMENT EN HARMONIQUES SPHERIQUES. LA CONTINUITE DU FLUX IMPAIR EST IMPOSEE SUR LES INTERFACES DES MAILLES. DES ELEMENTS FINIS DE TYPE LAGRANGE SONT CHOISIS POUR LE FLUX IMPAIR. LE FLUX PAIR EST DEVELOPPE SUR UNE BASE DE POLYNOMES ORTHOGONAUX CE QUI PERMET DE L'ELIMINER EN COURS D'ITERATION. UN CHAPITRE PRESENTE LE TRAITEMENT PARTICULIER POUR LE MILIEU VIDE QUI PRESENTE UNE DIFFICULTE PARTICULIERE EN FORMULATION PAIRE IMPAIRE. LA PARENTE DE CE SOLVEUR AVEC CELUI DE LA DIFFUSION A PERMIS DE COUPLER FACILEMENT LES DEUX METHODES ET D'ENVISAGER POUR L'AVENIR D'ACCELERER L'UNE PAR L'AUTRE. DE MEME, IL A ETE INTERESSANT D'ELIMINER CERTAINES HARMONIQUES SPHERIQUES, ON OBTIENT AINSI UNE METHODE D'HARMONIQUES TRONQUEE. CELLE-CI A ETE INTRODUITE DANS LE SOLVEUR ET UNE ETUDE NUMERIQUE A PERMIS DE MESURER LE POIDS DES DIFFERENTS HARMONIQUES SUR LA PRECISION DES RESULTATS

LES EQUATIONS. EQUATION DE TRANSPORT. APPROXIMATION PAR ELEMENTS FINIS. L'EQUATION DE PROPAGATION. L'EQUATION DE SAINT VENANT. L'EQUATION DE DIFFUSION. PROGRAMME DE CALCUL.

Qu’il s’agisse d’applications en physique ou en mécanique, en médecine ou en biologie, mais aussi en économie, dans les médias et en marketing, ou encore dans le domaine des finances, la traduction phénoménologique du système étudié conduit très souvent à la résolution d’équations différentielles ou aux dérivées partielles. Incontestablement, ce sont les éléments finis qui ont bouleversé le monde de l’approximation numérique des équations aux dérivées partielles. Cet ouvrage est composé de deux parties : la première est un abrégé de cours portant sur les outils de base de l’analyse mathématique des équations aux dérivées partielles et la seconde contient des problèmes corrigés qui abordent l’approximation par éléments finis des formulations variationnelles des problèmes aux limites elliptiques. Des applications en mécanique des solides déformables, à la résistance des matériaux, en mécanique des fluides et en thermique ainsi que quelques problèmes non linéaires y sont présentés.Cet ouvrage s'adresse aux étudiants en sciences et techniques de l'ingénieur des universités et des grandes écoles.