CETTE THESE SE COMPOSE DE TROIS PARTIES. LES DEUX PARAMETRES CONCERNENT L'EQUATION D'EULER INCOMPRESSIBLE DE LA MECANIQUE DES FLUIDES. LA TROISIEME EST CONSACREE A L'EQUATION D'EULER-POISSON DE LA DYNAMIQUE DES GAZ. DANS LA PREMIERE, ON ETUDIE LA REGULARITE ANALYTIQUE OU GEVREY DES LIGNES DE COURANT DE SOLUTIONS NON NECESSAIREMENT LIPSCHITZIENNES DE L'EQUATION D'EULER; ON EN DEDUIT L'INCLUSION DU FRONT D'ONDE ANALYTIQUE OU GEVREY DES SOLUTIONS CONSIDEREES DANS LA VARIETE CARACTERISTIQUE DU LINEARISE. DANS LA DEUXIEME, EN COLLABORATION AVEC X. SAINT-RAYMOND, ON GENERALISE A LA MECANIQUE DES FLUIDES TRIDIMENSIONNELS LE PROBLEME DES POCHES DE TOURBILLON. ON Y OBTIENT UN RESULTAT DE PERSISTANCE GEOMETRIQUE LOCALE EN TEMPS (GLOBALE DANS LE CAS AXISYMETRIQUE). DANS LA TROISIEME, ON DEMONTRE, SANS CONDITION DE SUPPORT, UN THEOREME D'EXISTENCE LOCALE EN TEMPS POUR L'EQUATION D'EULER-POISSON

An accessible and self-contained introduction to recent advances in fluid dynamics, this book provides an authoritative account of the Euler equations for a perfect incompressible fluid. The book begins with a derivation of the Euler equations from a variational principle. It then recalls the relations on vorticity and pressure and proposes various weak formulations. The book develops the key tools for analysis: the Littlewood-Paley theory, action of Fourier multipliers on L spaces, and partial differential calculus. These techniques are used to prove various recent results concerning vortex patches or sheets; the main results include the persistence of the smoothness of the boundary of a vortex patch, even if that smoothness allows singular points, and the existence of weak solutions of the vorticity sheet type. The text also presents properties of microlocal (analytic or Gevrey) regularity of the solutions of Euler equations and links such properties to the smoothness in time of the flow of the solution vector field.

1. We begin by giving a simple example of a partial differential inequality that occurs in an elementary physics problem. We consider a fluid with pressure u(x, t) at the point x at the instant t that 3 occupies a region Q oflR bounded by a membrane r of negligible thickness that, however, is semi-permeable, i. e., a membrane that permits the fluid to enter Q freely but that prevents all outflow of fluid. One can prove then (cf. the details in Chapter 1, Section 2.2.1) that au (aZu azu aZu) (1) in Q, t>o, -a - du = g du = -a z + -a z + -a z t Xl X X3 z l g a given function, with boundary conditions in the form of inequalities u(X,t»o => au(x,t)/an=O, XEr, (2) u(x,t)=o => au(x,t)/an?:O, XEr, to which is added the initial condition (3) u(x,O)=uo(x). We note that conditions (2) are non linear; they imply that, at each fixed instant t, there exist on r two regions r~ and n where u(x, t) =0 and au (x, t)/an = 0, respectively. These regions are not prescribed; thus we deal with a "free boundary" problem.

L'OBJET DE CETTE THESE EST L'ETUDE DE PROPRIETES DE REGULARITE DE SOLUTIONS D'EQUATIONS NON LINEAIRES DISPERSIVES. NOUS EN ETUDIONS PARTICULIEREMENT DEUX. CE SONT DES EQUATIONS QUI INTERVIENNENT EN MECANIQUES DES FLUIDES ET EN PHYSIQUE DES PLASMAS. CETTE THESE EST ALORS DIVISEE EN DEUX GRANDES PARTIES : - LA PREMIERE EST CONSACREE A L'ETUDE DE LISSAGE (SMOOTHING) ET ANALYTICITE DE SOLUTIONS AU PROBLEME DE CAUCHY, DE L'EQUATIONS DE SCHRODINGER DE TYPE DERIVATIF EN UNE DIMENSION. - LA SECONDE EST DEDIEE TOUT D'ABORD A L'EXISTENCE D'ONDES SOLITAIRES POUR L'EQUATION KADOMTSEV-PETVIASHVILI GENERALISEE ET ENSUITE A LEUR CARACTERE ANALYTIQUE.

Qu’il s’agisse d’applications en physique ou en mécanique, en médecine ou en biologie, mais aussi en économie, dans les médias et en marketing, ou encore dans le domaine des finances, la traduction phénoménologique du système étudié conduit très souvent à la résolution d’équations différentielles ou aux dérivées partielles. Incontestablement, ce sont les éléments finis qui ont bouleversé le monde de l’approximation numérique des équations aux dérivées partielles. Cet ouvrage est composé de deux parties : la première est un abrégé de cours portant sur les outils de base de l’analyse mathématique des équations aux dérivées partielles et la seconde contient des problèmes corrigés qui abordent l’approximation par éléments finis des formulations variationnelles des problèmes aux limites elliptiques. Des applications en mécanique des solides déformables, à la résistance des matériaux, en mécanique des fluides et en thermique ainsi que quelques problèmes non linéaires y sont présentés.Cet ouvrage s'adresse aux étudiants en sciences et techniques de l'ingénieur des universités et des grandes écoles.