Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'analyse mathématique théorique et numérique des équations deNavier-Stokes compressibles en régime barotrope. La plupart des travaux présentés ici combinent desméthodes d'analyse des équations aux dérivées partielles et des méthodes d'analyse numérique afin de clarifierla notion de solution faible ainsi que les mécanismes de convergence de méthodes numériques approximant cessolutions faibles. En effet les équations de Navier-Stokes compressibles sont fortement non linéaires et leuranalyse mathématique repose nécessairement sur la structure de ces équations. Plus précisément, nousprouvons dans la partie théorique l'existence de solutions faibles pour un modèle d'écoulement compressibled'entropie variable où l'entropie du système est transportée. Nous utilisons les méthodes classiques permettantde prouver l'existence de solutions faibles aux équations de Navier-Stokes compressibles en regime barotrope.Nous étudions aussi dans cette partie la réduction de dimension 3D/2D dans les équations de Navier-Stokescompressibles en utilisant la méthode d'énergie relative. Dans la partie numérique nous nous intéressons auxestimations d'erreur inconditionnelles pour des schémas numériques approximant les solutions faibles deséquations de Navier-Stokes compressibles. Ces estimations d'erreur sont obtenues à l'aide d'une versiondiscrète de l'énergie relative satisfaite par les solutions discrètes de ces schémas. Ces estimations d'erreur sontobtenues pour un schéma numérique académique de type volumes finis/éléments finis ainsi que pour le schémanumérique Marker-and-Cell. Nous prouvons aussi que le schéma Marker-and-Cell est inconditionnellement etuniformément asymptotiquement stable en régime bas Mach. Ces résultats constituent les premiers résultatsd'estimations d'erreur inconditionnelles pour des schémas numériques pour les équations de Navier-Stokescompressibles en régime barorope.

ON PRESENTE UNE METHODE ORIGINALE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES COMPRESSIBLES BASEE SUR UNE DECOMPOSITION DE HELMHOLTZ DU CHAMP DE VITESSE. CETTE DEMARCHE PERMET DE SCINDER LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES EN TROIS SOUS PROBLEMES PLUS SIMPLES QUI SEPARENT BIEN LES CARACTERES ELLIPTIQUES OU PARABOLIQUES ET HYPERBOLIQUES DU SYSTEME INITIAL. LA METHODE EST UTILISEE AVEC PROFIT EN REGIME STATIONNAIRE, LA SOLUTION S'OBTIENT ALORS A L'AIDE D'UN POINT FIXE SUR LES TROIS SOUS PROBLEMES. UNE PREMIERE IMPLEMENTATION NUMERIQUE UTILISANT LA TECHNIQUE DES VOLUMES FINIS EST PROPOSEE DANS LE CADRE STATIONNAIRE ISOTHERME EN DIMENSION 2. ENCOURAGE PAR LES BONS RESULTATS OBTENUS PAR CETTE PREMIERE APPLICATION, LA METHODE EST GENERALISEE AU CAS DES ECOULEMENTS INSTATIONNAIRES POUR DES FLUIDES ISOTHERMES OU CONDUCTEURS DE CHALEUR, L'OBJECTIF ETANT DE SE RAPPROCHER LE PLUS POSSIBLE D'ECOULEMENTS REELS EVENTUELLEMENT TRES PERTURBES. DEUX CONTRIBUTIONS A L'ANALYSE MATHEMATIQUE DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES SONT EGALEMENT FOURNIES. LA PREMIERE PRESENTE DANS LE DETAIL L'APPLICATION DE LA METHODE DE DECOMPOSITION DANS LE CADRE DE L'ECOULEMENT D'UN FLUIDE COMPRESSIBLE EN DOMAINE BORNE DE FRONTIERES IMPERMEABLES POUR LEQUEL ON MONTRE L'EXISTENCE ET L'UNICITE DE SOLUTIONS DANS LES ESPACES DE HOLDER. LA SECONDE S'INTERESSE A L'ETUDE DES COMPORTEMENTS ASYMPTOTIQUES DES SOLUTIONS STATIONNAIRES DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES COMPRESSIBLES. LES DECROISSANCES CALCULEES NUMERIQUEMENT SONT COMPAREES AUX RESULTATS THEORIQUES CONNUS. ENFIN, NOUS CONSACRONS LA DERNIERE PARTIE AUX TRAVAUX EN COURS D'ELABORATION (EXTENSION DU CODE DE CALCUL A LA DIMENSION 3 SUR DES MAILLAGES NON CARTESIENS MULTI-BLOCS STRUCTURES) ET AUX DEVELOPPEMENTS ENVISAGES DANS UN FUTUR PROCHE (COUPLAGE AVEC L'ACOUSTIQUE, FLUIDES NON NEWTONIENS).

ON PRESENTE DANS CE TRAVAIL, UNE ETUDE THEORIQUE ET NUMERIQUE DES EQUATIONS DE STOKES ET DE NAVIER-STOKES REGISSANT L'ECOULEMENT D'UN FLUIDE VISQUEUX INCOMPRESSIBLE DONT LA DENSITE EST UNE FONCTION DONNEE NON CONSTANTE. ON DISCRETISE LES DEUX PROBLEMES PAR METHODES SPECTRALES ET ON DONNE DES ESTIMATIONS D'ERREUR OPTIMALES (?) SUR LA VITESSE ET LA PRESSION SOLUTIONS DES PROBLEMES DE STOKES ET DE NAVIER-STOKES BIDIMENSIONNELS. LA RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DISCRETES SE FAIT AU MOYEN DE L'ALGORITHME D'UZAWA ADAPTE A DES PROBLEMES NON SYMETRIQUES. LES RESULTATS OBTENUS, LORS DES TESTS NUMERIQUES EFFECTUES, SONT CONFORMES A CEUX OBTENUS A L'ISSU DE L'ANALYSE THEORIQUE DES PROBLEMES CONSIDERES.

CE TRAVAIL EST DEDIE A L'ANALYSE NUMERIQUE DES SOLUTIONS ONDE PROGRESSIVE DU SYSTEME NAVIER-STOKES A PLUSIEURS TEMPERATURES OU ENCORE, DE FACON EQUIVALENTE, A PLUSIEURS ENTROPIES SPECIFIQUES. LES SYSTEMES AINSI CONSIDERES REPONDENT A DE NOMBREUSES MODELISATIONS COMPLEXES. NOUS PROUVONS L'EXISTENCE ET L'UNICITE (A UNE TRANSLATION PRES) DES SOLUTIONS ONDE PROGRESSIVE DE TELS SYSTEMES. LA FORME VRAIMENT NON CONSERVATIVES DES EQUATIONS NE PERMET PAS UNE CARACTERISATION EXPLICITE DE CES SOLUTIONS REGULIERES MAIS ELLES SONT MONTREES ETRE GOUVERNEES PAR UNE ECHELLE DE VISCOSITES. UNE ETUDE ASYMPTOTIQUE DU RAPPORT DES VISCOSITES CONDUIT A DES DEVELOPPEMENTS LIMITES DES RELATIONS DE SAUT GENERALISEE SATISFAITES PAR LES ONDES PROGRESSIVES PUISQU'ELLES CONVERGENT UNIFORMEMENT VERS LES SOLUTIONS ONDE PROGRESSIVE DE SYSTEMES COMPLETEMENT CONSERVATIFS. CERTAINS MODELES NECESSITENT LA PRISE EN COMPTE DE TERME DE RELAXATION. NOUS METTONS ALORS EN EVIDENCE DES CONDITIONS DE REGULARITE SUR LES VISCOSITES POUR LESQUELLES L'UNICITE OU LA MULTIPLICITE DES SOLUTIONS ONDE PROGRESSIVE EST ASSUREE. L'APPROXIMATION NUMERIQUE DE CES SOLUTIONS REGULIERES EST ENSUITE PROPOSEE. ELLE CONSTITUE L'ESSENCE DE TOUTE METHODE NUMERIQUE DE TYPE VOLUMES FINIS. LES SYSTEMES ETANT HORS DU CONTEXTE DU THEOREME DE CONVERGENCE DE LAX-WENDROFF PUISQUE NON CONSERVATIFS, LES CONDITIONS DE STABILITE USUELLES SE REVELENT INSUFFISANTES POUR LA CAPTURE DES SOLUTIONS ONDE PROGRESSIVE ET EN CONSEQUENCE LORS DE L'APPROXIMATION DES SOLUTIONS D'UN PROBLEME DE RIEMANN. NOUS PROPOSONS UNE CONDITION DE COMPATIBILITE SUPPLEMENTAIRE QUI EST SYSTEMATIQUEMENT VIOLEE PAR LES METHODES DE PROJECTIONS L 2. NOUS INTRODUISONS UNE OPERATION DE PROJECTION NONLINEAIRE ASSURANT A LA SOLUTION DISCRETE DE SATISFAIRE, OUTRE LES CONDITIONS DE STABILITE, LA NOUVELLE CONDITION DE COMPATIBILITE. UNE ETUDE POUR L'OBTENTION DE MODELES DE TYPE B.G.K. EST MENEE SUR LA FORMULATION PSEUDO-CONSERVATIVE DE CES SYSTEMES.