La thèse porte sur l'analyse mathématique de problèmes issus de la mécanique unilatérale et de l'optimisation. Dans une première partie, nous étudions les propriétés d'un algorithme de type proximal qui peut être interprété comme l'équation discrétisée d'un oscillateur non linéaire soumis à des forces de frottement modélisés par un opérateur sous-différentiel. On étend l'étude au cadre général des opérateurs maximaux monotones dans un espace de Hilbert. Sous certaines conditions, la suite générée par l'algorithme est fortement convergente et sa limite est atteinte en un nombre fini d'itérations. Sinon, dans un contexte plus large, nous prouvons que la convergence est géométrique. Dans une deuxième partie, nous étudions un système dynamique continu : une équation des ondes amorties par un frottement sec avec conditions de Dirichlet au bord. Après avoir établi l'existence et l'unicité d'une solution du système, l'objectif principal est d'en étudier les propriétés asymptotiques. Dans deux situations significatives, on met en évidence un phénomène de dichotomie : la solution converge en temps fini, ou bien la convergence est exponentielle. Des conditions sont également données qui garantissent la stabilisation en temps fini du système vers une solution stationnaire. Une autre partie de la thèse est consacrée à l'étude de l'algorithme de gradient à pas variable. Le but est de montrer l'intérêt de prendre en compte la notion de courbure dans les méthodes de gradient. Nous obtenons des résultats de convergence linéaire sans condition de forte convexité. Des variantes de l'algorithme sont également étudiées notamment en considérant différentes expressions du pas dépendant de la courbure. Une large partie de l'étude porte sur la version implicite du schéma, rentrant ainsi dans le champ des méthodes du point proximal.

Un système dynamique discret est un ensemble fini d'éléments, prenant chacun un nombre fini d'états, et evoluant, dans un temps discret, par interactions mutuelles. Ce livre est consacré à l'analyse de la dynamique temporelle de tels systèmes. Grâce à des outils de métrique discrète, on établit des résultats de convergence globale (contraction booléenne) convergence locale vers un point fixe ou vers un cycle, et ceci pour différents modes opératoires.

Ces travaux présentent une méthode d'optimisation dynamique pour le contrôle optimal en génie des procédés. Plus généralement, ils s'inscrivent dans une thématique plus vaste, concernant l'optimisation des systèmes dynamiques hybrides. La méthode développée repose sur une méthode hybride entre deux méthodes directes : approches séquentielles et simultanées. Cette méthode nommée Méthode directe a tirs multiples, se caractérise par un découpage de l'horizon de temps en sous intervalles d'intégration et par une réduction de l'espace de recherche des fonctions de contrôle par une paramétrisation de ces dernières. Contrairement aux méthodes séquentielles, la méthode présentée permet de prendre en compte facilement des contraintes sur les variables d'état, ce qui représente une classe importante de problème en Génie des Procédés. De plus, la taille du problème d'optimisation reste acceptable car seules les fonctions de contrôle sont paramétrisées. Toutefois, ce problème d'optimisation est plus complexe que celui des approches séquentielles, à cause de la mise en oeuvre de contraintes de continuité (sur les variables d'état et de contrôle) entre les différents sous intervalles issus de la subdivisons du temps. Cette méthode est intégrée dans le noyau numérique de la plate forme PrODHyS. Son utilisation est illustrée au travers de trois exemples en génie des procédés

En conception d’avant projet, les impératifs de rapidité et de réduction des coûts sont à l’origine du recours quasi-systématique aux techniques d’optimisation numérique. La conception la plus performante est ici l’objectif principal recherché. Depuis quelques années, les chercheurs et les industriels s’intéressent à des méthodes de simulation intégrant les imprécisions inhérentes à la réalisation des produits manufacturés. L’objectif est alors d’étudier la robustesse des solutions vis-à-vis de la variabilité des paramètres du modèle. Les produits n’étant jamais le reflet exact de la conception optimale retenue, il s’avère aujourd’hui essentiel de coupler ces deux approches pour répondre également aux exigences de qualité. Les travaux présentés dans ce mémoire concernent la définition d’une stratégie d’optimisation robuste répondant à des objectifs multiples et adaptée au dimensionnement dynamique de systèmes mécaniques en phase d’avant projet. La méthodologie proposée s’appuie sur des techniques d’optimisation éprouvées et intègre les imprécisions via des méthodes de réanalyse exploitant des développements en série. Le choix de ces deux approches est justifié par l’utilisation commune des techniques de sensibilité, permettant ainsi des gains de temps. La méthodologie a été appliquée au dimensionnement fonctionnel d’une suspension de groupe motopropulseur (GMP). Cet ensemble mécanique présente en effet des contraintes de dimensionnement multiples et antagonistes associées à des variabilités d’une partie de ses constituants. Sur ce cas industriel, la méthodologie a permis de déterminer et de valider des solutions nouvelles garantissant une stabilité des performances.

Cette thèse porte sur les techniques d'analyse formelle de systèmes hybrides à dynamiques continues non linéaire. Ses contributions portent sur les algorithmes d'atteignabilité et sur les problèmatiques liées à la representation des ensembles atteignables. This thesis deals with formal analysis of hybrid system with non linear continous dynamic. It contributes to the fields of reachability analysis algorithm and the set representation.