DANS CETTE THESE, NOUS ETUDIONS (DU POINT DE VUE MATHEMATIQUE) QUELQUES PROBLEMES ASYMPTOTIQUES PROVENANT DE LA MECANIQUE DES FLUIDES. CECI EST MOTIVE PAR DES RAISONS D'ORDRE PHYSIQUE AINSI QUE NUMERIQUE : LES EQUATIONS COMPLETES DE LA PHYSIQUE SONT SOUVENT TRES COMPLIQUEES ET NE PEUVENT PAS ETRE RESOLUES DANS LEUR TOTALITE, CE QUI AMENE A CONSIDERER DES MODELES SIMPLIFIES QUI PRENNENT EN COMPTE LES DIFFERENTES ECHELLES SUR LESQUELLES ON PEUT ETUDIER LE SYSTEME. CES MODELES PEUVENT ETRE JUSTIFIES DU POINT DE VUE MATHEMATIQUE GRACE A DES THEOREMES DE CONVERGENCE LORSQU'UN PETIT PARAMETRE TEND VERS ZERO. CECI POSE DES DIFFICULTES MATHEMATIQUES, SOUVENT DUES AU CHANGEMENT DU TYPE DES EQUATIONS, QUI CORRESPONDENT SOUVENT A UNE REALITE PHYSIQUE : PERSISTANCE DES OSCILLATIONS, PRESENCE DE COUCHES LIMITES NOUS ETUDIONS TROIS EXEMPLES QUI SONT RESPECTIVEMENT LE PASSAGE DES EQUATION DE NAVIER-STOKES VERS CEUX D'EULER DANS UN DOMAINE AVEC BORD, LA LIMITE COMPRESSIBLE-INCOMPRESSIBLE D'UN FLUIDE VISQUEUX ET FINALEMENT L'ETUDE DES FLUIDES TOURNANTS A GRANDE VITESSE.

Le but principal du présent ouvrage est de familiariser les étudiants aux concepts actuels de la modélisation asymptotique et à leurs applications aux écoulements des fluides Newtoniens dans diverses configurations. La lecture ne présente aucune difficulté particulière. Cependant le déroulement logique et systématique de l'exposé met en place tout le formalisme de la modélisation asymptotique (ch. II à VI). Ce livre est l'un des premiers à présenter un panorama assez vaste sur la modélisation asymptotique des écoulements de fluides Newtoniens: il s'agit aussi bien des techniques asymptotiques que de la mise en œuvre effective de la modélisation à des problèmes concrets de la mécanique des fluides (ch. VII à XI).

Le but du livre est de donner aux enseignants et aux étudiants (à partir de Bac+4) en mathématiques appliquées et en mécanique des fluides un outil d'enseignement et d'apprentissage illustré par cinquante problèmes accompagnés de leur correction détaillée. Il présente une nouvelle méthode d'analyse asymptotique pour des problèmes de "couche limite". Celle-ci est appelée MASC "Méthode des Approximations Successives Complémentaires".

L'OBJET DE LA THESE EST L'ETUDE MATHEMATIQUE DE QUELQUES PROBLEMES DE MECANIQUE DES FLUIDES. DANS UNE PREMIERE PARTIE, ON S'INTERESSE AUX EQUATIONS DE NAVIER-STOKES, RELATIVES A UN FLUIDE VISQUEUX INCOMPRESSIBLE, EN TROIS DIMENSIONS D'ESPACE, AVEC DES CONDITIONS AUX LIMITES PERIODIQUES. ON SUPPOSE QUE LE CHAMP DE VITESSE INITIAL EST PROCHE D'UN CHAMP BIDIMENSIONNEL, ET L'ON DEMONTRE DES RESULTATS DE STABILITE DE LA SOLUTION ASSOCIEE, AINSI QU'UNE NOUVELLE ESTIMATION DU TEMPS EVENTUEL D'EXPLOSION. CES DIFFERENTS RESULTATS CONDUISENT EN PARTICULIER A UN THEOREME D'UNICITE DES SOLUTIONS A LA LERAY DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES QUAND LA DONNEE INITIALE EST BIDIMENSIONNELLE. LES METHODES EMPLOYEES S'INSPIRENT D'IDEES DE W. VON WAHL. LES DEUX CHAPITRES SUIVANTS DE LA THESE CONCERNENT DES FLUIDES GEOPHYSIQUES, PARFAITS OU VISQUEUX, AINSI QUE LES FLUIDES PARFAITS, FAIBLEMENT COMPRESSIBLES. ON DEMONTRE DES RESULTATS CONCERNANT LE TEMPS D'EXISTENCE DES SOLUTIONS DE TELLES EQUATIONS, AINSI QUE DES RESULTATS ASYMPTOTIQUES SUR CES SOLUTIONS. LES TECHNIQUES UTILISEES REPOSENT SUR L'ETUDE DE LIMITES SINGULIERES DANS DES SYSTEMES HYPERBOLIQUES OU PARABOLIQUES ; EN PARTICULIER ON ETUDIE L'INFLUENCE DE PENALISATIONS ANTISYMETRIQUES, AINSI QUE L'EFFET PRODUIT PAR DE FORTES OSCILLATIONS EN TEMPS SUR DE TELS SYSTEMES, EN S'INSPIRANT DES TRAVAUX DE S. SCHOCHET. ENFIN L'OBJET DU DERNIER CHAPITRE EST L'ETUDE D'UN SCHEMA NUMERIQUE POUR L'EQUATION DU TOURBILLON BIDIMENSIONNELLE PERIODIQUE, PROPOSE PAR V. ZEITLIN, DONT LA PARTICULARITE EST DE PRESERVER LA STRUCTURE HAMILTONIENNE DE L'EQUATION. EN UTILISANT DE L'ANALYSE DE FOURIER, ASSOCIEE A DES TECHNIQUES DE CALCUL PARADIFFERENTIEL DE J.-M. BONY, ON DEMONTRE DES RESULTATS DE STABILITE, DE CONSISTENCE ET DE CONVERGENCE DU SCHEMA.

Ce cours de mecanique des fluides est avant tout un cours theorique qui repond aux questions fondamentales de ce sujet de recherche. Les quatre premiers chapitres presentent les equations propres a determiner l'ecoulement de fluide considere et diverses solutions. Les chapitres 5 et 6sont consacres aux problemes lies la stabilite, aux bifurcations et aux comportements chaotiques. Le livre donne un vision globale des questions traitees en mecanique des fluides qui sont a la base de toute la recherche, de la modelisation et de toutes les applications dans ce domaine.