Le but de cette thèse est la construction de schémas numériques pour la simulation de propagation d'ondes basés sur des discrétisations par éléments finis conformes, ces schémas ayant pour vocation à être d'ordre arbitrairement élevé et aussi efficaces que possible. Nous décrivons un algorithme de construction d'éléments finis de Lagrange qui nous a permis de déterminer un nouvel élément fini avec condensation de masse de type P6. Nous présentons une approche permettant une condensation partielle de la matrice de masse. Nous présentons une méthode de couplage d'éléments finis d'arête rectangulaires et triangulaires, permettant d'optimiser le profil de la matrice de masse. Nous présentons aussi une discrétisation en temps d'ordre arbitrairement élevé, basée sur une procédure de type Cauchy-Kowalewski, que l'on a stabilisée. Toutes les discrétisations présentées ont été implémentées, testées et leur efficacité a été comparée à celle des discrétisations couramment utilisées.

Mes travaux de thèse portent sur le développement de schémas numériques d'ordre élevé en temps et en espace pour la simulation de propagation des ondes. Nous avons proposé de discrétiser dans un premier temps l'équation des ondes par rapport au temps, en utilisant une technique de type équation modifiée. Puis nous avons utilisé une méthode d'éléments finis de type Galerkine discontinue pour la discrétisation en espace. En modifiant l'ordre de la discrétisation, nous avons construit des schémas tout aussi précis que ceux déjà existants pour un coût de mise en oeuvre très intéressant. Après avoir validé numériquement la nouvelle méthode, nous nous sommes intéressés à sa stabilité ainsi qu'à son adaptivité en temps et en espace. Pour arriver à cela, nous avons dû faire une étude précise de la stabilité de la méthode de Galerkine discontinue et nous avons proposé des améliorations à cette technique entraînant des gains de temps significatifs.

Ce travail porte sur le développement d'une méthode Galerkin discontinue (GDDT) d'ordre élevé pour la résolution numérique des équations de Maxwell instationnaires sur des maillages simplexes non-conformes. On présente tout d'abord une méthode GDDT reposant sur des fonctions de base nodales pour approcher le champ électromagnétique dans un simplexe, un schéma centré pour évaluer les flux numériques aux interfaces entre cellules voisines et un schéma saute-mouton du second ordre pour l'intégration temporelle. De plus, cette méthode autorise l'utilisation de maillages non-conformes présentant un nombre arbitraire de nœuds flottants. La méthode résultante est non-dissipative, stable sous une condition de type CFL, conserve un équivalent discret de l'énergie électromagnétique, et très peu dispersive. Afin de diminuer le coût de calcul de cette méthode, on propose une méthode GDDT de type hp, qui combine h-raffinement et p-enrichissement locaux tout en préservant la stabilité. On réalise ensuite une étude numérique détaillée des méthodes GDDT sur la base d'une série de problèmes de propagation d'ondes en milieux homogène et hétérogène. En particulier, on effectue une comparaison des méthodes Galerkin discontinues conformes et non-conformes en termes de précision, convergence et coûts de calcul. Afin d'améliorer la précision et la vitesse de convergence des méthodes GDDT précédentes, on étudie une famille de schémas saute-mouton d'ordre arbitrairement élevé. Ces schémas temporels nous assurent sur tout maillage la conservation d'un équivalent discret de l'énergie électromagnétique ainsi que la stabilité des méthodes GDDT résultantes sous une condition de type CFL. On réalise aussi une étude de convergence hp a priori ainsi qu'une étude de convergence de l'erreur sur la divergence. Des expériences numériques montrent que pour un maillage donné, le schéma saute-mouton du quatrième ordre est moins coûteux en temps de calcul et plus précis que le schéma saute-mouton du second ordre, en dépit d'une complexité arithmétique accrue. De plus, on obtient une convergence exponentielle avec le schéma saute-mouton du quatrième ordre.

La modélisation numérique tient maintenant une place centrale dans la conception et l’étude des systèmes électromagnétiques. Dans le domaine des dispositifs fonctionnant en basse fréquence, c’est la méthode des éléments finis qui s’est imposée au cours de ces dernières décennies. Aujourd’hui, elle est couramment utilisée par les ingénieurs et les chercheurs dans l’industrie, ainsi que les centres de recherche. Cet ouvrage présente en détail toutes les étapes permettant, à partir des équations de Maxwell, d’aboutir aux équations à résoudre à l’aide d’un calculateur via la méthode des éléments finis. On passe ainsi des équations de base dans le domaine continu aux équations dans le domaine discret propre aux éléments finis. Cette démarche est menée avec un souci permanent de maintenir un lien entre la physique, c’est-à-dire les propriétés des champs électromagnétiques, et l’analyse numérique. De nombreux exemples académiques, que l’on retrouve lors des différentes étapes de la construction du modèle, permettent d’éclairer la compréhension des développements.

Dans la première partie des études des problèmes de propagation d'ondes en présence de métamatériaux homogénéisés tels que les équations de Maxwell, le systèmes de l'acoustique ou de l'élasticité linéaire. Nous établissons des résultats d'existence et d'unicité pour ces systèmes sous des hypothèses phénoménologiques sur le métamatériaux en accord avec certains modèles de la littérature. Nous abordons ensuite leurs approximations numériques. Nous présentons des résultats concernant les éléments finis pour l'approximation de l'équation de Helmholtz qui montrent que ce schéma peut ne pas converger en présence de métamatériaux. On propose alors un schéma Galerkin Discontinu dont on montre numériquement sa convergence sur des exemples de métamatériaux

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation mathématique des hétérogénéités de longueurs caractéristiques beaucoup plus petites que la longueur d'ondes. La thèse consiste en deux parties. La partie théorique est dédiée à l'obtention d'un développement asymptotique raccordé: la solution est décrite à l'aide d'un développement de champ proche au voisinage de l'obstacle et par un développement de champ lointain hors de ce voisinage. Le développement de champ lointain met en jeu des solutions singulières de l'équation des ondes tandis que le champ proche lui est régi par un modèle quasi-statique. Ces deux développements sont alors raccordés dans une zone intermédiaire dite de raccord. Nous obtenons alors des estimations d'erreurs permettant de rendre rigoureux ce développement asymptotique formel. La deuxième partie est numérique. Elle décrit à la fois la méthode de Galerkine discontinue, une méthode de raffinement de maillage espace-temps et propose une discrétisation des modèles asymptotiques obtenues précédemment. Elle est illustrée par un certain nombre de tests numériques.

CETTE THESE PORTE SUR LE DEVELOPPEMENT DE MODELES NUMERIQUES BASES SUR LES ELEMENTS FINIS POUR LES ANALYSES DE PROPAGATION D'ONDES ET DE COMPATIBILITE ELECTROMAGNETIQUE. ELLE CONCERNE DES MODELISATIONS TRIDIMENSIONNELLES DANS LES DOMAINES FREQUENTIEL ET TEMPOREL. LES FORMULATIONS DEVELOPPEES SONT BASEES SUR LA RESOLUTION DE L'EQUATION D'ONDE EN TERMES DU VECTEUR CHAMP ELECTRIQUE. LES ELEMENTS D'ARETE SONT UTILISES POUR L'INTERPOLATION DU CHAMP SUR DES MAILLAGES CONFORMES COMPOSES DE TETRAEDRES. L'ANALYSE DE PROBLEMES A DOMAINE OUVERTE EST FAITE EN UTILISANT LA CONDITION AUX LIMITES ABSORBANTE DE SILVER-MULLER POUR LA TRONCATURE DU VOLUME DE CALCUL. DANS LA FORMULATION TEMPORELLE, LES DERIVEES PAR RAPPORT AU TEMPS SONT DISCRETISEES AVEC LA METHODE DE NEWMARK, QUI PERMET D'OBTENIR UN SCHEMA PAS A PAS DANS LE TEMPS INCONDITIONNELLEMENT STABLE ET AVEC UNE PRECISION D'ORDRE DEUX. LE MEMOIRE EST COMPOSE DE CINQ CHAPITRES. LE CHAPITRE PREMIER PRESENTE LE PROBLEME GENERAL DE LA PROPAGATION D'ONDES AINSI QUE SA DISCRETISATION AVEC LES ELEMENTS FINIS D'ARETE. DANS LE SECOND CHAPITRE, LA METHODE EST VALIDEE DANS L'ETUDE DE LA PROPAGATION D'UNE ONDE EN MILIEUX DIELECTRIQUES CLASSIQUES ET EN MILIEU PLASMA. LE RAYONNEMENT D'UNE PETITE ANTENNE EST AUSSI ETUDIE. LE CHAPITRE TROIS PRESENTE L'APPLICATION DE LA FORMULATION TEMPORELLE ASSOCIEE A DES TECHNIQUES DE TRAITEMENT DU SIGNAL DANS L'OBTENTION DES FREQUENCES PROPRES DE CAVITES RESONNANTES. DANS LE CHAPITRE QUATRE, LES FORMULATIONS FREQUENTIELLE ET TEMPORELLE SONT APPLIQUEES ET COMPAREES DANS L'ANALYSE DU COUPLAGE D'UNE ONDE INCIDENTE AVEC UN FIL CONDUCTEUR PLACE A L'INTERIEUR D'UN BOITIER METALLIQUE POSSEDANT UNE OUVERTURE. DES APPROXIMATIONS SONT FAITES DE FACON A RESTREINDRE LE DOMAINE DE CALCUL AU VOLUME DU BOITIER. DANS LE CHAPITRE CINQ, QUI TRAITE AUSSI DE PROBLEMES DE COUPLAGE ONDE/STRUCTURE, DES FORMULATIONS PLUS GENERALES, UTILISANT DES CONDITIONS ABSORBANTES, SONT PROPOSEES.