Le sujet de cette thèse concerne la modélisation numérique des phénomènes de propagation des ondes dans des milieux élastiques. La compréhension et la modélisation de ces phénomènes jouent un rôle fondamental dans de nombreux domaines d'applications tels que la géophysique, la sismique, le contrôle non destructif, etc. Nous avons développé une méthode numérique traitant ces problèmes dans des milieux complexes (grande taille, géométries complexes, milieux tridimensionnels hétérogènes et anisotropes). Les principales caractéristiques de cette méthode sont: _ l'utilisation des maillages réguliers en carres (2d) ou cubes (3d), ce qui facilite l'implémentation et favorise la vitesse du calcul. _ la condensation de masse qui nous permet d'obtenir des schémas explicites en temps. La prise en compte des géométries complexes (fissures, surfaces libres) s'effectue alors grâce à la méthode des domaines fictifs (une méthode de multiplicateurs de Lagrange). L'utilisation de cette méthode nous a conduit à choisir une formulation mixte, en vitesses-contraintes, pour l'élastodynamique. Pour obtenir alors, une méthode compatible avec la condensation de masse, nous avons construit une nouvelle famille d'éléments finis mixtes. L'analyse de convergence de ces nouveaux éléments constitue une partie importante de la thèse, la difficulté provenant du fait qu'ils n'entrent pas dans le cadre de la théorie classique. Nous avons également étudié les schémas obtenus avec ces éléments en termes d'une analyse de dispersion et de stabilité. Ceci nous a permis de comparer la nouvelle méthode à des méthodes plus classiques. Enfin, nous avons étudié le problème délicat de la modélisation des ondes élastiques en milieux non bornes. A ce sujet, nous avons d'abord propose de nouvelles conditions aux limites absorbantes (CLA) puis nous avons adapté au cas élastique la méthode des couches absorbantes parfaitement adaptées (PML), introduite originalement en électromagnétisme.

Etude de différents problèmes liés à l'analyse mathématique et numérique de phénomènes de propagation d'ondes linéaires. Simulation numérique de la propagation d'ondes acoustiques ou élastiques en milieu borné. Construction et analyse d'approximations paraxiales de l'équation des ondes en milieu hétérogène. Electromagnétisme et équations de Maxwell. Existence d'ondes élastiques guidées par l'extérieur d'une cavité cylindrique de section arbitraire.

La modélisation de la propagation d'ondes pour des géométries bidimensionnelles avec des structures complexes associée à un comportement intrinsèque non-élastique quelconque, constitue un préalable essentiel à la compréhension et à l'interprétation des données sismiques, quelle que soit leur mise en œuvre, dans les milieux naturels. La résolution des équations de l'élastodynamique par la méthode des différences finies offre une flexibilité appréciable pour la représentation de modèles complexes, mais nécessite des développements numériques très spécifiques pour 1) inclure un modèle de comportement anélastique quelconque, 2) définir des conditions absorbantes efficaces afin de simuler un domaine ouvert, 3) définir des conditions de surfaces optimales afin de permettre l'évaluation des champs en présence de forts contrastes d'impédance, particulièrement en présence d'une topographie à l'interface air-sol. Dans le cadre de cette thèse plusieurs approches algorithmiques ont été développées et testées afin de répondre aux trois impératifs précédents. La discrétisation des équations de l'élastodynamique par différences finies dans le domaine temporel a été effectuée au second ordre en temps et quatrième ordre en espace (O(2,4)). Les conditions absorbantes sont de type 'Conditional Perfectly Matched Layer' afin de maximiser leur efficacité pour un grand nombre de configurations (caractéristiques du milieu, angles d'incidence). Le maillage est proposé soit sous sa forme classique dite orthogonale, soit avec une rotation appliquée (rotated grid) pour une évaluation des champs de vitesses et de contraintes plus précise à l'interface air-sol en présence de topographie. Concernant le modèle de comportement visco-élastique, une implémentation classique de type récursive est proposée, ainsi qu'une version originale de la méthode 'Auxiliary Differential Equation' pour la généralisation à des modèles visqueux quelconques (linéaire ou non-linéaire). Les validations numériques de rigueur et les comparaisons dans divers cas canoniques pour une validation expérimentale sur des assemblages aluminium/polyméthacrylate, puis un milieu granulaire disposé dans une cuve ont permis 1) d'asseoir la validité des modèles numériques vis à vis des temps de propagation et 2) d'établir les sources d'incertitudes sur les amplitudes essentiellement dues au caractère bidimensionnel des simulations. Par ailleurs, une étude du bassin de Tunis (Tunisie) initiée par une campagne de sismique réfraction et la modélisation de formes schématiques de bassin a été abordée. Cette dernière a permis de mettre en évidence les effets de site prévisibles liés à la forme et au type de remplissage d'un bassin sédimentaire.

Nous nous intéressons à la propagation d'ondes en milieu élastique non-borné. Nous développons une nouvelle formulation mixte H(div)-L2 du système de l'élastodynamique linéaire et lui appliquons la "méthode des éléments finis mixtes spectraux". Cette nouvelle méthode permet, par un choix judicieux d'espaces d'approximation et une condensation de masse, d'obtenir un schéma explicite de stockage réduit, en donnant la même solution que la méthode des éléments finis spectraux. Nous introduisons ensuite des couches absorbantes parfaitement adaptées pour modéliser les milieux non-bornés. Des phénomènes d'instabilité sont révélés et analysés pour certains matériaux élastiques 2D. La méthode numérique obtenue est validée et testée sur des modèles réalistes en acoustique et élastique. Une analyse par ondes planes donne des résultats de dispersion numérique et montre la supériorité des maillages adaptés aux vitesses du milieu. Enfin, une extension au couplage fluide-structure 2D est mise en place.

Cette thèse est une étude qualitative de systèmes dynamiques modélisant des phénomènes apparaissant en physiologie et en biologie. Elle est basée sur un système de deux équations différentielles ordinaires, de type Fitzugh-Nagumo. Suivant la valeur d'un paramètre, ce système est capable de reproduire la propriété d'excitabilité (caractéristique des cellules nerveuses, cardiaques...) ou d'évoluer asymptotiquement vers un cycle limite. A partir de ce système on dérive deux systèmes d'EDP de type réaction-diffusion ou de type équation des ondes. Dans ces systèmes on exhibe numériquement divers phénomènes que l'on retrouve dans les systèmes physiologiques et biologiques: propagation d'ondes, ondes spirales, propagation d'oscillations en salves, phénomènes chaotiques... Outre les phénomènes décrits numériquement, la thèse présente chaque système dans un cadre mathématique classique, et divers théorèmes y sont démontrés

L’utilisation des ondes élastiques touche des domaines aussi variés que l’évaluation non destructive des matériaux, la médecine, la sismologie ou les télécommunications. Ondes élastiques dans les solides 1 présente les différents modes de propagation des ondes élastiques dans des milieux et des structures de plus en plus complexes. Il étudie en premier lieu la propagation dans un solide illimité où seules les propriétés du matériau sont à prendre en compte. Il analyse ensuite des phénomènes de réflexion et de transmission à une interface avec un fluide ou un second solide. Il expose la recherche des modes de propagation sur une surface libre ou à l’interface entre deux milieux. Enfin, il propose une étude de la propagation dispersive des ondes élastiques guidées par une plaque ou un cylindre. Cet ouvrage s’adresse aux étudiants des masters d’acoustique, de mécanique, de géophysique, aux élèves ingénieurs ainsi qu’aux enseignants-chercheurs de ces disciplines.