La diffraction d'ondes élastiques par une fissure dans un matériau est un problème majeur en contrôle non destructif. Une modélisation réaliste consiste à prendre en compte une condition de contact unilatéral sur la fissure. Dans cette thèse, on étudie des problèmes dynamiques de contact unilatéral dans des milieux fissurés. Au niveau théorique, on présente un résultat d'existence pour un milieu viscoélastique de Kelvin-Voigt fissuré, pour lequel on considère une condition de contact unilatéral avec frottement non local (régularisé). Ce résultat est obtenu en utilisant une méthode de pénalisation et des propriétés de compacité. L'étude numérique porte sur le problème de l'élastodynamique avec contact unilatéral sans frottement, qui reste un problème ouvert sur le plan mathématique. Pour le résoudre, on utilise la méthode des domaines fictifs. On propose pour cela une formulation du problème en contraintes-déplacements-multiplicateurs de Lagrange. Un élément fini adapté est utilisé pour la discrétisation en espace et permet d'obtenir un schéma explicite en temps, par condensation de masse. Plusieurs schémas de discrétisation en temps sont présentés: un schéma implicite décentré dont on démontre la stabilité, un schéma implicite centré qui apparaît stable au vu des expériences numériques. Des résultats de validation sont présentés ainsi que des résultats concernant des applications plus réalistes.

A LONG TERME, LE BUT DE CETTE ETUDE EST LA DETECTION DE FISSURES DANS UN MILIEU ISOTROPE RECOUVERT D'UN MATERIAU ANISOTROPE. LA THESE SE DIVISE EN TROIS PARTIES. LA PREMIERE PARTIE RAPPELLE LES PROPRIETES CLASSIQUES DE LA PROPAGATION D'ONDES ELASTIQUES. LA SECONDE ET PRINCIPALE PARTIE CONCERNE L'ETUDE DE LA DIFFRCTION D'UNE ONDE ELASTIQUE TRANSITOIRE PAR UNE FISSURE DANS UN MILIEU HOMOGENE ISOTROPE INFINI. LA METHODE DES EQUATIONS INTEGRALES EST BIEN ADAPTEE AUX PROBLEMES DE DIFFRACTION CAR ELLE PREND EN COMPTE LE COMPORTEMENT A L'INFINI PAR L'INTERMEDIAIRE DE LA SOLUTION FONDAMENTALE ET ELLE RAMENE A UN PROBLEME POSE SUR LA FRONTIERE CE QUI FAIT GAGNER UNE DIMENSION D'ESPACE. L'EQUATION INTEGRALE PEUT ETRE RESOLUE NUMERIQUEMENT SOIT A L'AIDE D'UNE METHODE DE COLLOCATION (LA PLUS SOUVENT UTILISEE) SOIT A L'AIDE D'UNE METHODE VARIATIONNELLE. C'EST CETTE DERNIERE METHODE QUE NOUS AVONS CHOISIE CAR ELLE PERMET D'OBTENIR UNE ANALYSE MATHEMATIQUE ET NUMERIQUE ET ELLE S'ADAPTE MIEUX A UN COUPLAGE AVEC LA METHODE DES ELEMENTS FINIS. LA PARTIE B EST DONC CONSACREE A L'OBTENTION DE LA FORMULATION VARIATIONNELLE ESPACE-TEMPS, A SON ANALYSE (EXISTENCE, UNICITE, TRAITEMENT DU NOYAU HYPERSINGULIER), A SA DISCRETISATION ET AUX RESULTATS NUMERIQUES. LA TROISIEME PARTIE CONTIENT QUELQUES RESULTATS EN MILIEU ANISOTROPE. EN VUE D'UTILISER DES ELEMENTS FINIS DANS UN MILIEU ORTHOTROPE NON BORNE, NOUS INTRODUISONS, SUIVANT UNE DEMARCHE CLASSIQUE, DES CONDITIONS ABSORBANTES DANS CE MILIEU. ENFIN, LE DERNIER CHAPITRE GENERALISE, AU CAS OU LE MILIEU EST ANISOTROPE, LA METHODE DE REGULARISATION DECRITE DANS LA PARTIE B

CE TRAVAIL A PORTE SUR LE DEVELOPPEMENT DE METHODES NUMERIQUES PERMETTANT DE SIMULER LA PROPAGATION DES ONDES SISMIQUES LARGE BANDE DANS DES MILIEUX A GEOMETRIES TRIDIMENSIONNELLES SIMPLES, CARACTERISES PAR UN NOMBRE REDUIT DE DISCONTINUITES : PAR EXEMPLE UN MODELE SIMPLIFIE DES ALPES (TOPOGRAPHIE ET MOHO) OU UN VOLCAN. DANS UNE TELLE MODELISATION, LE CHAMP INCIDENT PEUT ETRE AUSSI BIEN UNE ONDE DE SURFACE QU'UNE ONDE PLANE, OU EMANER D'UNE SOURCE PONCTUELLE SUPERFICIELLE. UNE INTRODUCTION GENERALE PRECISE LES OBJECTIFS DE CETTE ETUDE, ET EXAMINE LES DIFFERENTES METHODES NUMERIQUES UTILISEES EN SCIENCES DE LA TERRE. UNE METHODE D'ELEMENTS DE FRONTIERE REPOSANT SUR UNE REPRESENTATION INTEGRALE DIRECTE FORMULEE EN TEMPS A ETE DEVELOPPEE. SON SCHEMA DE RESOLUTION EXPLICITE PERMET DE S'AFFRANCHIR DES LIMITATIONS RENCONTREES EN 3D PAR LA FORMULATION EN FREQUENCE. NOUS OBTENONS DES RESULTATS D'UNE PRECISION TRES SATISFAISANTE. LES LIMITATIONS DE LA METHODE VIENNENT DE L'AMPLIFICATION POSSIBLE DU BRUIT NUMERIQUE, ET SURTOUT D'UNE CROISSANCE RAPIDE DU TEMPS DE CALCUL, QUI RESTREINT LA TAILLE DES MODELISATIONS REALISABLES. CETTE ETUDE CONSTITUE LES DEUX PREMIERS CHAPITRES DU MEMOIRE. DES EXPRESSIONS ANALYTIQUES DES FONCTIONS DE GREEN DES LES MILIEUX ELASTIQUES A GRADIENT DE VITESSE CONSTANT ONT ETE PROPOSEES DE FACON HEURISTIQUE PAR SANCHEZ-SESMA ET AL. (1999). LEUR EMPLOI ETENDRAIT LE DOMAINE D'APPLICATION DES METHODES INTEGRALES. AU CHAPITRE 3, NOUS TESTONS CES FONCTIONS POUR LE CAS 3D, ET DETERMINONS LEUR APPLICABILITE. FINALEMENT, POUR S'AFFRANCHIR DES LIMITATIONS DES METHODES INTEGRALES SUR LA TAILLE DES MODELES SIMULABLES, TOUT EN UTILISANT LEUR CAPACITE A RESOUDRE AVEC PRECISION LES CONDITIONS DE SURFACE LIBRE, NOUS AVONS DEMARRE L'ETUDE D'UNE METHODE HYBRIDE COMBINANT ELEMENTS DE FRONTIERE ET METHODE DE DIFFERENCES FINIES, EN FREQUENCE. LE DERNIER CHAPITRE PROPOSE ESSENTIELLEMENT UNE ETUDE DE L'OPTIMISATION D'UN SCHEMA DE DIFFERENCES FINIES D'ORDRE 2.

Ce travail a porte sur le developpement de methodes numeriques permettant de simuler la propagation des ondes sismiques large bande dans des milieux a geometries tridimensionnelles simples, caracterises par un nombre reduit de discontinuites : par exemple un modele simplifie des alpes (topographie et moho) ou un volcan. Dans une telle modelisation, le champ incident peut etre aussi bien une onde de surface qu'une onde plane, ou emaner d'une source ponctuelle superficielle. Une introduction generale precise les objectifs de cette etude, et examine les differentes methodes numeriques utilisees en sciences de la terre. Une methode d'elements de frontiere reposant sur une representation integrale directe formulee en temps a ete developpee. Son schema de resolution explicite permet de s'affranchir des limitations rencontrees en 3d par la formulation en frequence. Nous obtenons des resultats d'une precision tres satisfaisante. Les limitations de la methode viennent de l'amplification possible du bruit numerique, et surtout d'une croissance rapide du temps de calcul, qui restreint la taille des modelisations realisables. Cette etude constitue les deux premiers chapitres du memoire. Des expressions analytiques des fonctions de green des les milieux elastiques a gradient de vitesse constant ont ete proposees de facon heuristique par sanchez-sesma et al. (1999). Leur emploi etendrait le domaine d'application des methodes integrales. Au chapitre 3, nous testons ces fonctions pour le cas 3d, et determinons leur applicabilite. Finalement, pour s'affranchir des limitations des methodes integrales sur la taille des modeles simulables, tout en utilisant leur capacite a resoudre avec precision les conditions de surface libre, nous avons demarre l'etude d'une methode hybride combinant elements de frontiere et methode de differences finies, en frequence. Le dernier chapitre propose essentiellement une etude de l'optimisation d'un schema de differences finies d'ordre 2.