Cet ouvrage fait le point sur les méthodes actuelles les plus performantes pour modéliser, simuler et optimiser les procédés de mise en forme des structures minces et massives et d'en donner les tendances des nouvelles méthodes innovantes actuellement en cours de développement et qui feront à n'en pas douter les "outils" industriels de demain dans le domaine du formage virtuel. Par rapport aux ouvrages récents dédiés aux méthodes numériques en mise en forme, le principal apport de ce livre se trouve rassemblé au deuxième chapitre qui concerne le développement des modèles de comportement multiphysiques à fortes capacités prédictives, utilisables dans les codes de calcul des structures pour simuler et optimiser tous types de procédés de mise en forme par grandes déformations irréversibles de structures métalliques minces et/ou massives et leur "optimisation" vis-à-vis de l'avènement de l'endommagement ductile.

Ce livre est issu d'un cours enseigné à l'École Polytechnique dont l'objectif, au delà de la présentation de l'analyse numérique et de l'optimisation, est d'introduire les étudiants au monde de la modélisation mathématique et de la simulation numérique. La modélisation et la simulation ont pris une importance considérable ces dernières décennies dans tous les domaines de la science et des applications industrielles (ou sciences de l'ingénieur). En effet, depuis leur apparition au lendemain de la seconde guerre mondiale les ordinateurs ont profondément transformé les mathématiques en en faisant une science expérimentale : on fait des ± expériences numériques » (des calculs sur ordinateurs) comme d'autres font des expériences physiques. L'analyse numérique est justement la discipline qui conçoit et analyse les méthodes ou algorithmes de calcul. La simulation numérique permet aux mathématiciens de s'attaquer à des problèmes beaucoup plus complexes et concrets qu'auparavant, issus de motivations immédiates industrielles ou scientifiques, auxquels on peut apporter des réponses à la fois qualitatives mais aussi quantitatives : c'est la modélisation mathématique. Remarquons qu'à coté des champs d'applications traditionnels que sont la chimie, le mécanique et la physique se sont ouverts de nouvelles perspectives en biologie, environnement, finance, médecine et sciences sociales. Par ailleurs, l'ingénieur ou le scientifique qui a réussi à simuler numériquement son problème ne s'arrête pas en si bon chemin: il veut ensuite pouvoir intervenir sur certains paramètres pour améliorer ou optimiser le fonctionnement, le rendement, ou la réponse d'un système en maximisant (ou minimisant) des fonctions associées. C'est précisément le but de l'optimisation qui fournit des outils théoriques ou numériques pour ce faire. L'analyse numérique et l'optimisation sont donc deux outils essentiels et complémentaires de la modélisation mathématique. Des travaux pratiques de simulation numérique à l'aide des logiciels Scilab et FreeFem++ accompagnent cet ouvrage et sont disponibles sur le site web http://www.cmap.polytechnique.fr/~allaire/

La modélisation mathématique et la simulation numérique constituent une troisième voie d'approche de la réalité, qui complète des résultats obtenus par l'expérience et par la théorie analytique. L'avènement d'ordinateurs possédant une très grande puissance de calcul a conduit, ces dernières années, à un important développement de ces méthodes qui permettent de modéliser, à l'échelle moléculaire, le comportement chimique de phases condensées. L'étude d'exemples concernant des systèmes biologiques des matériaux en cours d'évolution ou des réactions de catalyse vient souligner tout l'intérêt qui s'attache à cette nouvelle discipline appelée à un grand avenir. Les Entretiens de la Physique sont des manifestations annuelles, organisées conjointement par la Société Française de Physique et le Conseil National des Ingénieurs et des Scientifiques de France.

Les triangulations et plus précisément les maillages sont au coeur de nombreux problèmes relatifs à des disciplines scientifiques très variées et, en particulier, les simulations numériques de phénomènes physiques. Dans ce contexte, les espaces fonctionnels d’approximation pour la recherche de solutions sont définis à partir des maillages qui jouent un rôle primordial. Cette forte liaison entre les maillages et ces espaces fonctionnels amène à considérer des méthodologies avancées de simulation dans lesquelles les maillages s’adaptent aux comportements des phénomènes physiques sous-jacents. Cet ouvrage présente les éléments de base de cette vision. Ces adaptations de maillages sont généralement gouvernées par des estimateurs a posteriori d’une erreur. Ils traduisent une majoration de cette erreur par le respect d’une taille ou d’une métrique. Indépendamment de cette métrique de calcul, le respect d’une géométrie peut aussi se traduire par le respect d’une métrique dite géométrique. La notion de maillage trouve ainsi son sens dans la métrique de ses éléments.

GRACE AU DEVELOPPEMENT IMPORTANT DES MOYENS INFORMATIQUES DE CALCULS, DES SIMULATIONS NUMERIQUES D'IMPACTS HYDRODYNAMIQUES DEVIENNENT ENVISAGEABLES AUJOURD'HUI, SIMULATIONS DONT LE NIVEAU DE COMPLEXITE EST LIE A LA NATURE DES RESULTATS SOUHAITES. LEUR PRINCIPALE DIFFICULTE RESIDE DANS LA MODELISATION DES INTERACTIONS ENTRE FLUIDE ET STRUCTURE, DANS LE CAS D'UN REGIME DE DYNAMIQUE RAPIDE TRANSITOIRE. LA CONNAISSANCE DU COMPORTEMENT STRUCTURAL DU CORPS N'APPARAIT PLUS COMME UN OBSTACLE AUJOURD'HUI ; LES CODES DE CALCULS PERMETTENT DES SIMULATIONS TRES PRECISES D'ECRASEMENT DE STRUCTURES, POUVANT INCLURE DES RUPTURES COMPLEXES. DE MEME, LA MODELISATION DES ECOULEMENTS DE FLUIDE ATTEINT DES NIVEAUX DE PRECISION ELEVES. IL RESTE DONC A MODELISER L'INFLUENCE D'UN MILIEU SUR L'AUTRE. LE BUT DE CETTE ETUDE EST LA PREVISION DU COMPORTEMENT D'UN CORPS IMPACTANT LE FLUIDE ; ELLE EST DONC CONCENTREE SUR LA CONNAISSANCE DE SES MOUVEMENTS ET DE SES DEFORMATIONS LOCALES. LA METHODE NUMERIQUE CHOISIE A DONC PRIVILEGIE LA MODELISATION STRUCTURALE, PLUTOT QUE CELLE DE L'ECOULEMENT, CAR SEULE LA SOLLICITATION EN PRESSION DU FLUIDE EST ESSENTIELLE. POUR CETTE RAISON, UNE APPROCHE DE TYPE ELEMENTS FINIS, DEVELOPPEE POUR L'ETUDE DE STRUCTURES SOUPLES COMPLEXES EST ADOPTEE, EN PREFERENCE A DES METHODES DE TYPE INTEGRALES OU MASSES AJOUTEES. CE TRAVAIL DE RECHERCHE A POUR OBJECTIF DE METTRE EN EVIDENCE LES POTENTIALITES, LES LIMITES ET LE COUT D'EXPLOITATION D'UNE TELLE METHODE A MODELISER UN IMPACT SUR L'EAU D'UNE STRUCTURE SOUPLE, TANT POUR UNE FORMULATION LAGRANGIENNE QUE ALE. APRES L'EVOCATION DU CONTEXTE INDUSTRIEL, CETTE ETUDE S'ARTICULE DONC AUTOUR, D'UNE PART, DE LA MODELISATION MATHEMATIQUE ET DE LA RESOLUTION NUMERIQUE DE CE TYPE D'IMPACT ET D'AUTRE PART, DE LA VALIDATION D'UNE MEF EXPLICITE DE DYNAMIQUE RAPIDE, SUIVIE D'UNE APPLICATION A UN CAS INDUSTRIEL