Cet ouvrage présente différents modèles discrets en dynamique pour la modélisation de phénomènes mécaniques non linéaires liés au frottement ou à l’impact. Les sollicitations sont exposées dans un cadre déterministe et stochastique. Pour ce dernier, le cas de variétés de configuration euclidienne ou riemannienne est abordé. La difficulté réside dans le type d’équations différentielles non linéaires particulières utilisées. Le cadre théorique ainsi que des schémas numériques sont détaillés pour chaque équation. Trois types de problèmes sont d’abord étudiés dans le cas particulier d’un solide à un degré de liberté : la force de frottement, la loi d’impact en déterministe et le frottement dans un cadre stochastique. Ensuite, de nombreux exemples sont commentés et fournissent, dans un cadre théorique ou applicatif, de nombreux modèles accompagnés de leurs schémas numériques. Des rappels théoriques fondamentaux sont proposés ainsi que deux preuves complètes de convergence de schémas numériques dans le cas du frottement déterministe ou stochastique.

Le problème général est d'analyser l'impact du choix d'un cadre mathématique en modélisation sur les prédictions d'un modèle. Dans cette thèse nous étudions le cadre déterministe, stochastique, discret et time-scale. En particulier nous étudions la préservation par ces divers formalismes de structures importantes comme : la structure variationnelle (lagrangienne ou hamiltonienne), les symétries et en particulier les intégrales premières (théorèmes de Noether), les points d'équilibre et plus généralement les ensembles invariants et enfin des propriétés dynamiques plus fines (stabilités, positivités, etc). Ces développements utilisent le cadre des plongements et permettent dans le cas discret de préciser la construction d'intégrateurs numériques variationnels ou non-standards. Dans le cas stochastique, nous obtenons une modification du schéma d'Euler-Maruyama permettant de préserver des contraintes dynamiques comme la positivité. Chacun de ces outils et résultats sont illustrés dans des problèmes d'astronomie et de physique. Nous étudions un problème des deux-corps avec une perturbation stochastique puis un problème sur la rotation d'un corps ayant des variations stochastiques de son aplatissement. Le changement de nature induit des effets surprenants comme une accélération de la précession pour le problème des deux-corps, et pour la rotation cela permet d'interpréter, pour la Terre par exemple, des effets observés jusqu'alors non expliqués. Tout ce travail a conduit à repenser la modélisation et nous avons construit pour cela de nouveaux objets qui entrent dans un cadre que nous avons appelé dynamique d'échelle et qui permet l'étude d'objets et de structures multiéchelles.

Le travail présenté concerne l'étude de différents modèles bilinéaires de systèmes dynamiques à temps discret dans leurs versions déterministe et stochastique. Dans le cas déterministe on précise des conditions assurant des propriétés de contrôlabilité, d'observabilité et d'identifiabilité partielle de l'entrée. Dans le cas stochastique on examine les problèmes d'existence d'un processus d'état stationnaire, d'existence des moments d'un tel processus ainsi que les problèmes statistiques de filtrage de l'état et d'estimation des paramètres.

Un système dynamique discret est un ensemble fini d'éléments, prenant chacun un nombre fini d'états, et evoluant, dans un temps discret, par interactions mutuelles. Ce livre est consacré à l'analyse de la dynamique temporelle de tels systèmes. Grâce à des outils de métrique discrète, on établit des résultats de convergence globale (contraction booléenne) convergence locale vers un point fixe ou vers un cycle, et ceci pour différents modes opératoires.

Cette thèse propose une approche pour rechercher des corrélations temporelles entre alarmes pour la tâche de Diagnostic de processus dynamiques. Elle montre qu'un processus surveillé par un système à bases de connaissance de diagnostic est un générateur d'occurrence d'événement discret produit selon un principe de discrétisation spatiale. L'algorithme "BJT" (Backward Jump with Timed constraints) utilise la représentation d'une séquence sous la forme duale d'une chaîne de Markov homogène à temps continu et d'une superposition de processus de Poisson pour construire un arbre de relation séquentielle labellisé par les contraintes temporelles observées entre classes d'événements. Une signature est alors une sous branche possédant un pouvoir d'anticipation significatif. Ainsi définie, une signature constitue un élément de connaissance pouvant être utilisé dans un système de surveillance et de diagnostic. Cette approche est validée par sa mise en œuvre sur un processus de production industriel.