Ce travail porte sur le développement d'une méthode Galerkin discontinue (GDDT) d'ordre élevé pour la résolution numérique des équations de Maxwell instationnaires sur des maillages simplexes non-conformes. On présente tout d'abord une méthode GDDT reposant sur des fonctions de base nodales pour approcher le champ électromagnétique dans un simplexe, un schéma centré pour évaluer les flux numériques aux interfaces entre cellules voisines et un schéma saute-mouton du second ordre pour l'intégration temporelle. De plus, cette méthode autorise l'utilisation de maillages non-conformes présentant un nombre arbitraire de nœuds flottants. La méthode résultante est non-dissipative, stable sous une condition de type CFL, conserve un équivalent discret de l'énergie électromagnétique, et très peu dispersive. Afin de diminuer le coût de calcul de cette méthode, on propose une méthode GDDT de type hp, qui combine h-raffinement et p-enrichissement locaux tout en préservant la stabilité. On réalise ensuite une étude numérique détaillée des méthodes GDDT sur la base d'une série de problèmes de propagation d'ondes en milieux homogène et hétérogène. En particulier, on effectue une comparaison des méthodes Galerkin discontinues conformes et non-conformes en termes de précision, convergence et coûts de calcul. Afin d'améliorer la précision et la vitesse de convergence des méthodes GDDT précédentes, on étudie une famille de schémas saute-mouton d'ordre arbitrairement élevé. Ces schémas temporels nous assurent sur tout maillage la conservation d'un équivalent discret de l'énergie électromagnétique ainsi que la stabilité des méthodes GDDT résultantes sous une condition de type CFL. On réalise aussi une étude de convergence hp a priori ainsi qu'une étude de convergence de l'erreur sur la divergence. Des expériences numériques montrent que pour un maillage donné, le schéma saute-mouton du quatrième ordre est moins coûteux en temps de calcul et plus précis que le schéma saute-mouton du second ordre, en dépit d'une complexité arithmétique accrue. De plus, on obtient une convergence exponentielle avec le schéma saute-mouton du quatrième ordre.

Cette thèse porte sur l'étude d'une méthode de type Galerkin discontinu en domaine temporel (GDDT), afin de résoudre numériquement les équations de Maxwell instationnaires sur des maillages hybrides tétraédriques/hexaédriques en 3D (triangulaires/quadrangulaires en 2D) et non-conformes, que l'on note méthode GDDT-PpQk. Comme dans différents travaux déjà réalisés sur plusieurs méthodes hybrides (par exemple des combinaisons entre des méthodes Volumes Finis et Différences Finies, Éléments Finis et Différences Finies, etc.), notre objectif principal est de mailler des objets ayant une géométrie complexe à l'aide de tétraèdres, pour obtenir une précision optimale, et de mailler le reste du domaine (le vide environnant) à l'aide d'hexaèdres impliquant un gain en terme de mémoire et de temps de calcul. Dans la méthode GDDT considérée, nous utilisons des schémas de discrétisation spatiale basés sur une interpolation polynomiale nodale, d'ordre arbitraire, pour approximer le champ électromagnétique. Nous utilisons un flux centré pour approcher les intégrales de surface et un schéma d'intégration en temps de type saute-mouton d'ordre deux ou d'ordre quatre. Après avoir introduit le contexte historique et physique des équations de Maxwell, nous présentons les étapes détaillées de la méthode GDDT-PpQk. Nous réalisons ensuite une analyse de stabilité L2 théorique, en montrant que cette méthode conserve une énergie discrète et en exhibant une condition suffisante de stabilité de type CFL sur le pas de temps, ainsi que l'analyse de convergence en h (théorique également), conduisant à un estimateur d'erreur a-priori. Ensuite, nous menons une étude numérique complète en 2D (ondes TMz), pour différents cas tests, des maillages hybrides et non-conformes, et pour des milieux de propagation homogènes ou hétérogènes. Nous faisons enfin de même pour la mise en oeuvre en 3D, avec des simulations réalistes, comme par exemple la propagation d'une onde électromagnétique dans un modèle hétérogène de tête humaine. Nous montrons alors la cohérence entre les résultats mathématiques et numériques de cette méthode GDDT-PpQk, ainsi que ses apports en termes de précision et de temps de calcul.

This work is concerned with the development of a flexible and efficient arbitrary high-order Discontinuous Galerkin Time Domain (DGTD) method for solving time-domain Maxwell’s equations on unstructured simplicial meshes, relying on explicit time integration schemes. Electromagnetic field components are approximated locally by polynomial interpolation methods and continuity between neighbouring, elements is weakly enforced by a centred scheme for the calculation of the numerical flux across mesh interfaces. The aim of this PhD thesis is to fulfil two complementary objectives. On one hand, to improve the polynomial approximation flexibility in view of the development of p-adaptive DGTD methods by studying various polynomial interpolation methods. Several aspects such as the modal or nodal nature of the associated set of basis functions, their possible hierarchical structure, the conditioning of the elementary matrices to be inverted, the spectral properties of the interpolation or the programming simplicity are investigated. On the other hand, to increase the efficiency of the temporal approximation on locally refined meshes by using a local time stepping strategy. We finally develop in this work a high performance computing methodology to exploit the inherent locality and parallelism of DGTD methods combined with the GPU computing capabilities. The combination of these brand features result in worth improvement of efficiency and in significant reduction of the computational time.

L’objectif général de cette étude est le développement et l’évaluation des schémas en temps efficaces pour des méthodes de type Galerkin discontinu (GD) en maillages tétraédriques non structurés pour la résolution numérique des équations de Maxwell en domaine temporel. Dans la première partie de cette thèse nous rappelons les équations de Maxwell et faisons une rapide revue des principales méthodes numériques utilisées pour résoudre ce système. Dans la seconde partie de cette thèse nous présentons la méthode Galerkin discontinue basée sur des approximations centrées d’ordre générique. Dans ce chapitre nous nous intéresserons qu’aux schémas en temps explicite. Nous détaillerons dans le troisième chapitre la partie principale de ce travail de thèse, c’est-à-dire les schémas implicites en temps, plus particulièrement le schéma implicite très étudié dans la littérature de Crank-Nicolsonn et dans un second temps un schéma implicite d’ordre 4 obtenu à l’aide de la technique du défaut corrigé. Nous réalisons une étude comparative de deux solveurs (direct et intératif) pour la résolution du système linéaire au chapitre 4. Pour des questions d’espace mémoire, nous nous intéressons au chapitre 5 à appliquer le schéma implicite à un sous ensemble du domaine de calcul. Pour cela nous utilisons un schéma hybride explicite/implicite. Au chapitre6, nous présentons les résultats 3D obtenus avec cette méthode. Les problèmes considérés ont plusieurs millions d’inconnues.

LA PREMIERE PARTIE DE CE TRAVAIL EST CONSACREE A LA DEMONSTRATION D'UN THEOREME D'EXISTENCE ET D'UNICITE DE LA SOLUTION DU SYSTEME DE MAXWELL DANS LE CAS GENERAL, OU LES COEFFICIENTS SONT DES TENSEURS SYMETRIQUES DEFINIS POSITIFS, QUI DEPENDENT D'UNE FACON NON REGULIERE DE LA VARIABLE D'ESPACE. DANS CES CONDITIONS, LE MILIEU DE PROPAGATION POURRAIT ETRE AUSSI BIEN ISOTROPE QU'ANISTROPE. DANS LA SECONDE PARTIE, NOUS NOUS SOMMES INTERESSES A L'ETUDE ET AU DEVELOPPEMENT DE PLUSIEURS METHODES NUMERIQUES DANS UN DOMAINE ISOTROPE OU LES COEFFICIENTS PEUVENT ETRE DISCONTINUS ; NOUS AVONS ETUDIE DEUX METHODES DE TYPE VOLUMES FINIS, UNE BASEE SUR UN CALCUL DE FLUX DECENTRES, ET L'AUTRE BASEE SUR UN CALCUL DE FLUX CENTRES. NOUS AVONS EGALEMENT ADAPTE UNE METHODE D'ELEMENTS FINIS DITE GALERKIN DISCONTINUE, ET ENFIN UNE METHODE HYBRIDE VOLUMES FINIS / DIFFERENCES FINIES AVEC UNE ETUDE DE STABILITE DE CETTE DERNIERE. POUR DES RAISONS GEOMETRIQUES, NOUS AVONS CHOSI LES ELEMENTS DU MAILLAGE COMME VOLUMES D'INTEGRATION. DE NOMBREUSES VALIDATIONS ET COMPARAISONS NUMERIQUES ONT MONTRE QUE CES METHODES SONT BIEN ADAPTEES AU CAS HETEROGENE. NEANMOINS, IL SEMBLE QUE LA METHODE VOLUMES FINIS AVEC FLUX CENTRES ET UNE DISCRETISATION TEMPORELLE DE TYPE SAUTE-MOUTON EST LA PLUS OPTIMALE EN TERME DE COMPROMIS ENTRE LA QUALITE DES RESULTATS ET LE COUT EN TEMPS DE CALCUL. MOTS CLES: ELECTROMAGNETISME - EXISTENCE - UNICITE - VOLUMES FINIS - GALERKIN DISCONTINUE - HYBRIDE - STABILITE.

LE BUT DE CETTE THESE EST DE CONSTRUIRE DES SCHEMAS NUMERIQUES PRECIS A PARTIR D'UNE METHODE DE TYPE GALERKIN DISCONTINU. DANS UN PREMIER TEMPS, NOUS EXPLIQUONS LA METHODE POUR LA LA RESOLUTION DE LOIS DE CONSERVATION HYPERBOLIQUES. UNE ANALYSE LINEAIRE MONTRE QUE LE SCHEMA SEMI-DISCRET ISSU DE LA METHODE EST PRECIS AU TROISIEME ORDRE EN ESPACE POUR L'EQUATION D'ADVECTION LINEAIRE SCALAIRE. NOUS MONTRONS LES BONNES PROPRIETES DE DISSIPATION ET DE DISPERSION DE L'OPERATEUR DE DISCRETISATION SPATIALE. UNE CONDITION SUFFISANTE DE STABILITE EST ETABLIE POUR LE SCHEMA COMPLETEMENT DISCRETISE DE FACON EXPLICITE ET LE FORMALISME POUR UNE DISCRETISATION TEMPORELLE IMPLICITE EST EXPOSE. NOUS VALIDONS LA METHODE EN RESOLVANT LE SYSTEME DES EQUATIONS D'EULER POUR DES PROBLEMES MODELES DE TUBES A CHOC ET DE REFLEXION DE CHOC. DANS UN DEUXIEME TEMPS, NOUS ANALYSONS, DU POINT DE VUE DE LA PRECISION ET DE LA STABILITE, PLUSIEURS DISCRETISATIONS POSSIBLES DU TERME DE DIFFUSION POUR UNE EQUATION D'ADVECTION-DIFFUSION UNIDIMENSIONNELLE. POUR ETAYER LES CHOIX RETENUS, DES PROBLEMES MODELES LINEAIRES ET NON LINEAIRES SONT RESOLUS NUMERIQUEMENT. LES SCHEMAS OBTENUS SONT ALORS ETENDUS A LA RESOLUTION DE PROBLEMES BIDIMENSIONNELS. NOUS MONTRONS ENSUITE COMMENT APPLIQUER CES DISCRETISATIONS A LA RESOLUTION DU SYSTEME DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES. ENFIN, NOUS NOUS INTERESSONS AU PROBLEME DE L'INTERACTION ENTRE UN CHOC ET UNE COUCHE LIMITE DANS UN TUBE A CHOC. POUR DECRIRE L'ECOULEMENT, NOUS PROPOSONS UN MODELE DE L'INTERACTION. NOUS EFFECTUONS DES SIMULATIONS AVEC LES SCHEMAS DE TYPE GALERKIN DISCONTINU ET DES SCHEMAS DE REFERENCE, CE QUI NOUS PERMET DE CONCLURE A LA GRANDE PRECISION DES SCHEMAS CONSTRUITS.