On s'intéresse à la modélisation des écoulements diphasiques de fluides immiscibles et incompressibles en milieu poreux a plusieurs types de roches. On considère que l'écoulement, dans chaque type de roche, est régi par les équations de conservation la masse couplées a la loi de darcy généralisée et a la loi de capillarite. A ces équations s'ajoutent des conditions de transmission à l'interface séparant les différents types de roches. On présente certaines méthodes permettant de modéliser les écoulements diphasiques en milieu poreux hétérogène. Puis on considère deux modèles ; des résultats d'existence et d'unicité sont établis pour ces modèles. Dans le cadre de l'homogénéisation périodique, on détermine aussi, par le moyen de la convergence a deux échelles, les modèles homogénéisés correspondants. Enfin, on présente des simulations numériques

Le contexte général de cette étude concerne la modélisation et la simulation numérique d'écoulements diphasiques en milieux poreux pour des applications à des problèmes d'ingénierie civile ou environnementale. Nous nous focalisons sur les phénomènes de transport mis en jeu dans les cas d'imbibition, de drainage et d'ébullition. Pour cela, nous étudions d'une part, des écoulements diphasiques eau-air isothermes et des écoulements d'eau et de vapeur d'eau avec changement de phase. Tout d'abord, nous présentons une modélisation macroscopique continue des transferts de masse et d'énergie dans les milieux poreux en tenant compte, lorsqu'ils existent, des changements de phase. Ce sont les principes de la thermodynamique des systèmes ouverts proches de l'équilibre qui ont servi de base à cette modélisation. Cette dernière débouche sur un système d'équations aux dérivées partielles non linéaires auxquelles s'ajoutent, des équations et des inéquations locales qui gèrent les transitions de phase. La discrétisation des équations est effectuée par la méthode des volumes finis et la résolution du système d'équations algébriques non linéaires obtenu est faite par la méthode de Newton. Afin de valider la modélisation proposée, différents problèmes physiques sont étudiés. Nous nous intéressons en premier lieu à des écoulements diphasiques eau-air isothermes. Dans une première étape, nous étudions la resaturation d'une barrière ouvragée par une barrière géologique, cela correspond à la première phase de la vie d'un ouvrage de stockage de déchets nucléaires. Dans une seconde étape, nous étudions le drainage d'une colonne poreuse initialement saturé d'eau. Nous montrons comment il est possible à partir d'un modèle simplifié, d'identifier la pression capillaire et la perméabilité relative de l'air. Des comparaisons entre les simulations numériques et des mesures d'expériences de laboratoire, obtenu par IRM, sont également proposées. Nous nous intéressons ensuite à l'apparition d'une phase vapeur dans un milieu poreux initialement saturé d'eau. Deux exemples d'applications sont traités : l'ébullition dans une colonne poreuse verticale chauffée par le bas et l'ébullition dans un milieu poreux de grande échelle. Pour ces deux cas, des résultats expérimentaux sont disponibles. Nous montrons que les courbes de perméabilité relative et de pression capillaire évaluées pour le couple eau-air doivent être largement corrigées dans la modélisation des écoulements diphasiques eau-vapeur d'eau. De plus, une solution analytique originale a été obtenue dans un cas simplifié du problème de Stefan et la comparaison entre les résultats numériques et la solution analytique a montré un bon accord. Les différentes confrontations entre les résultats numériques et les résultats expérimentaux montrent que la modélisation proposée est capable de représenter les phénomènes physiques de façon satisfaisante, tant du point de vue de l'imbibition et du drainage isothermes que de l'ébullition. Les schémas numériques se sont révélés être d'une grande robustesse ; ils se sont montrés parfaitement adaptés au suivi de la propagation de la frontière mobile entre les zones diphasique et monophasique

On s’int ́eresse `a l’ ́ecoulement d’un m ́elange d’eau et d’huile dans une matrice poreuse suppos ́ee h ́et ́erog`ene, et plus particuli`erement apposition de diff ́erentes sous-matrices poreuses suppos ́ees homog`enes. Si la mod ́elisation et l’analyse des ́ecoulements diphasiques dans des milieux poreux homog`enes a fait l’objet de nombreuses ́etudes pr ́ealables, ce travail s’int ́eresse aux ph ́enom`enes li ́es aux forces provenant de la pression capillaire au niveau des interfaces entre des milieux diff ́erents. Dans un premier temps, on suppose que l’on peut connecter les pressions au niveau des interfaces. Cela n ́ecessite des hypoth`eses sur les profils de pression capillaire, afin que les raccords soient possibles. On d ́emontre l’existence d’une solution faible du probl`eme parabolique d ́eg ́en ́er ́e obtenu par convergence d’une famille de solutions approch ́ees obtenues `a l’aide d’un sch ́ema Volumes Finis. L’unicit ́e est garantie, sous hypoth`ese sur les d ́eg ́en ́erescence, par une m ́ethode de d ́edoublement de variable aboutissant `a un principe de contraction L1. La mod ́elisation ne garantit pas forc ́ement que le raccord des pressions capillaires aux interfaces soit possible. Dans le chapitre 3, on donne une condition de raccord graphique des pressions capillaires aux interfaces qui permet de traiter des cas beaucoup plus g ́en ́eraux. On montre que de le probl`eme avec raccords graphiques admet une solution. Un r ́esultat d’unicit ́e et de contraction L1 est donn ́e dans le cas unidimensionnel. Dans le chapitre 4, on montre la convergence d’une approximation Volumes Finis vers l’unique solution du probl`eme unidimensionnel. Ce r ́esultat utilise une borne uniforme sur les flux discrets, analogie discr`ete de la preuve dans le cas continue faite au chapitre pr ́ec ́edent. On ́etudie dans les chapitres 5 et 6 la limite des solutions lorsque la d ́ependance de la pression capillaire par rapport `a l’inconnue saturation devient tr`es faible, et que la pression capillaire ne d ́epend plus que du sous milieux poreux homog`ene. Il apparaˆıt alors des ph ́enom`enes diff ́erents selon l’orientation des forces de gravit ́e et de capillarit ́e. Soit la solution du probl`eme est la solution entropique d’une ́equation hyperbolique `a flux discontinus, soit une solution faible, entropique `a l’int ́erieur des sous-domaines homog`enes, et laissant apparaˆıtre un choc non classique `a l’interface.

Un nouveau modèle macroscopique des écoulements diphasiques en milieux poreux est proposé. Il prend en compte l'existence d'une structure typique de la distribution des phases dans les pores, qui a la forme d'un champ répétitif de ménisques mobiles. La présence de ces interfaces conduit à un terme supplémentaire dans les équations du bilan de quantité de mouvement qui introduit le champ vectoriel de forces capillaires. Pour dériver ce modèle, une approche phénoménologique en introduisant un continuum spécial, appelé le Meniscus-Continuum, a été utilisée. Les relations de fermetures pour le modèle phénoménologique ont été obtenues par des simulations numériques en réseaux capillaires. Le nouveau modèle reste hyperbolique même si les forces capillaires sont dominantes, tandis que le modèle classique, avec des forces capillaires, est parabolique. Des solutions analytiques d'écoulements mono-dimensionnels ont été construites, manifestant des structures non classiques formées de doubles fronts ou de fronts à contre-courant. Pour calculer les problèmes 2D ou 3D, un algorithme numérique combiné " différences finies - percolation " a été développé. Son application à un problème de pénétration dans le sous-sol d'un DNAPL a permis de détecter plusieurs réqimes de pénétration.

APPLICATION A L'INFILTRATION DE LA PLUIE, EN TENANT COMPTE DE L'AIR, D'UN PROGRAMME GENERAL DE CALCUL NUMERIQUE D'ECOULEMENTS DIPHASIQUES EN MILIEU POREUX FONDE SUR LES ELEMENTS FINIS