Cet ouvrage propose une méthode de construction de schémas numériques de grande précision sur la base d'une analyse spectrale de l'erreur. Ces schémas sont appliqués à la propagation des ondes mais ils peuvent l'être à la résolution par différences finies de tout autre système d'équations aux dérivées partielles. Plusieurs formulations du problème continu sont exposées mais on retient la formulation en vitesses de déplacement et en contraintes. D'autre part, une analyse des caractéristiques des équations de la propagation conduit à faire une comparaison avec les caractéristiques des équations de la mécanique des fluides et d'indiquer les conditions de la filiation. La discrétisation des équations est basée sur les schémas en grilles décalées. On effectue des développements de Taylor à des ordres élevés et une analyse de l'erreur de discrétisation par transformée de Fourier. Puis, on introduit la notion d'approximation optimale en contraste avec les approximations basées sur l'erreur de troncature. Les schémas construits restent de type convolutif. Le calcul s'avère très efficace sur la base de l'erreur relative de discrétisation. L'algorithme de calcul des coefficients d'approximation optimale est fourni en Fortran dans une annexe. L'élévation de l'ordre en temps consiste à reporter le calcul des dérivées d'ordre élevé en temps sur des dérivées d'ordre élevé en espace. Enfin, l'analyse des conditions de stabilité et de dispersion est réalisée pour prendre en compte l'approximation optimale des dérivées pour des ordres élevés en espace et en temps.

ON ETUDIE LA DIFFRACTION DES ONDES ELASTIQUES PAR DES COMPOSITES FIBRES FISSURES AUX INTERFACES. PUIS ON ANALYSE LA PROPAGATION DYNAMIQUE D'UNE FISSURE A L'INTERFACE DE DEUX DEMI-ESPACES INFINIS SOUS CHARGEMENTS PLANS OU ANTIPLANS DANS LE CADRE DU CRITERE DE GRIFFITH

This conference was held in Santiago de Compostela, Spain, July 10-14, 2000. This volume contains papers presented at the conference covering a broad range of topics in theoretical and applied wave propagation in the general areas of acoustics, electromagnetism, and elasticity. Both direct and inverse problems are well represented. This volume, along with the three previous ones, presents a state-of-the-art primer for research in wave propagation. The conference is conducted by the Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique with the cooperation of SIAM.

Cette thèse est motivée par la simulation numérique du Contrôle Non Destructif par ultrasons. Elle vise à concevoir une méthode de calcul par éléments finis (EF) de la diffraction d’ondes élastiques harmoniques en temps par un défaut borné dans une plaque anisotrope infinie. L'objectif est de tenir compte du caractère non borné de la plaque tout en restreignant les calculs EF à une zone bornée autour du défaut. Ce point est difficile en raison de l'anisotropie, et, en particulier, les méthodes de type couches absorbantes parfaitement adaptées sont inopérantes. Dans cette thèse, nous avons considéré principalement des cas bidimensionnels plus simples qui nous ont permis de mettre en place les ingrédients essentiels d'une méthode destinée au cas tridimensionnel de la plaque. La première partie traite du problème de diffraction dans une bande infinie. L'approche classique consiste à écrire des conditions transparentes en raccordant sur une frontière le déplacement et la contrainte axiale exprimés à l'aide des modes de la plaque dans les parties saines d'une part, et des EF dans la zone perturbée d'autre part. Nous avons mis en évidence l'intérêt d'écrire ces raccords sur deux frontières séparées en introduisant un recouvrement entre le domaine modal et EF. Nous pouvons ainsi exploiter les relations de bi-orthogonalité valables pour une anisotropie arbitraire, et également accélérer la convergence des méthodes itératives de résolution. Dans la seconde partie, qui constitue le cœur de la thèse, nous avons étudié le problème de diffraction dans un milieu anisotrope infini dans les deux directions. L'idée clé est que l'on peut exprimer (via la transformée de Fourier) la solution dans un demi-plan en fonction de sa trace sur son bord. Ainsi, l'approche consiste à coupler plusieurs représentations analytiques de la solution dans des demi-plans entourant le défaut (au moins 3) avec la représentation EF. La difficulté est d'assurer la compatibilité de ces représentations, en particulier dans les intersections infinies des demi-plans. Cela nous conduit à une reformulation couplant, via des opérateurs intégraux, à la fois la solution dans un domaine borné contenant le défaut, et ses traces sur les bords des demi-plans. Numériquement, une troncature et une discrétisation dans les variables d'espace et de Fourier sont nécessaires. Pour chacune de ces deux parties, les méthodes ont été implémentées et validées à l'aide d'un code C++ développé pendant la thèse, d'abord dans le cas scalaire acoustique plus simple, puis dans le cas de l'élasticité.

Acoustic and electromagnetic waves underlie a range of modern technology from sonar, radio, and television to microwave heating and electromagnetic compatibility analysis. This book, written by an international researcher, presents some of the research in a complete way. It is useful for graduate students in mathematics, physics, and engineering.