CETTE THESE COMPORTE TROIS PARTIES INDEPENDANTES. DANS LA PREMIERE PARTIE ON S'INTERESSE A L'APPROXIMATION NUMERIQUE DE LA SOLUTION ENTROPIQUE D'UNE LOI DE CONSERVATION. ON PROPOSE L'ETUDE D'UNE NOUVELLE CLASSE DE SCHEMAS NUMERIQUES PROVENANT DES METHODES D'APPROXIMATION DES EQUATIONS D'HAMILTON-JACOBI-BELLMAN. ON OBTIENT AINSI UNE CLASSE DE SCHEMAS NUMERIQUES QUI SONT NON-CONSERVATIFS, MAIS POUR LEQUELS ON ETABLIT UN THEOREME GENERAL DE CONVERGENCE VERS LA SOLUTION ENTROPIQUE. DANS LA DEUXIEME PARTIE ON ETUDIE LA SOLUTION MULTIVOQUE D'UNE LOI DE CONSERVATION. GRACE A LA METHODE DES CARACTERISTIQUES, CETTE ETUDE EST EQUIVALENTE A L'ETUDE D'UNE EQUATION DE TRANSPORT LIBRE QUE L'ON CHERCHE A RESOUDRE EN RESOLVANT UN SYSTEME FERME D'EQUATIONS DES MOMENTS ASSOCIES. C'EST AINSI QU'ON EST CONDUIT NATURELLEMENT, D'UNE PART A LA CONSTRUCTION D'UN MODELE CINETIQUE PAR UN PRINCIPE DE MINIMISATION D'ENTROPIE ET, D'AUTRE PART A LA NOTION DE SOLUTIONS ENTROPIQUES A AU PLUS K BRANCHES COMME SOLUTIONS DU MODELE CINETIQUE. UN DES RESULTATS QUE NOUS OBTENONS EST L'EXISTENCE DE CES SOLUTIONS. DANS LA TROISIEME PARTIE NOUS ETUDIONS UN ALGORITHME RAPIDE POUR LE CALCUL DE LA TRANSFORMEE DE LEGENDRE-FENCHEL DISCRETE D'UNE FONCTION REELLE. NOUS MONTRONS QUE L'ALGORITHME CONVERGE ET QUE L'ORDRE DE CONVERGENCE CROIT AVEC LA REGULARITE DE LA FONCTION TRANSFORMEE. NOUS PRESENTONS DES APPLICATIONS DE CET ALGORITHME AUX EQUATIONS D'HAMILTON-JACOBI POUR LES PROBLEMES DE PROPAGATION DE FLAMME ET AUX LOIS DE CONSERVATION

On s'intéresse dans cette thèse à l'étude des systèmes hyperboliques de lois de conservation non-linéaires avec termes sources. D'un point de vue théorique, on commence par étudier le problème de Riemann généralisé. Ensuite, on montre qu'une condition suffisante de convergence des approximations visqueuses pour une loi scalaire non-homogène est d'assurer une estimation uniforme en amplitude. Le problème est plus délicat pour un système. L'étude des discrétisations implicites d'une loi scalaire générale montre qu'il existe des conditions de type CFL pour garantir l'invisibilité du schéma et prévenir l'apparition d'oscillations parasites dans la solution numérique. On introduit ensuite un schéma "well-balanced" au sens de Greenberg et Leroux convergeant vers la solution entropique dans le cas scalaire. L'extension aux systèmes généraux se fait par le biais d'une reformulation des termes sources en produits non-conservatifs. On calcule alors une linéarisée de type Roe pour les équations d'Euler non-homogènes. Par souci de robustesse, on dérive aussi un schéma de type "décomposition de flux" non-conservatif permettant d'approcher des systèmes variés et consistant avec les limites relaxées. Des tests sont aussi effectués en régime résonant et pour des problèmes diphasiques simplifiés bidimensionnels.

ETUDE NUMERIQUE DES ECOULEMENTS INSTATIONNAIRES DE FLUIDES PARFAITS COMPRESSIBLES EN PRESENCE D'ONDES DE CHOC. APPROXIMATION NUMERIQUE DES SOLUTIONS FAIBLES DES SYSTEMES HYPERBOLIQUES DE LOIS DE CONSERVATION A UNE OU DEUX VARIABLES D'ESPACE PLUS LE TEMPS, A L'AIDE DE SCHEMAS AUX DIFFERENCES FINIES PRECIS AU SECOND ORDRE, PERMETTANT DE CALCULER LES ONDES DE DISCONTINUITE SANS TRAITEMENT PARTICULIER

Dans la première partie de ce travail est analysée l'influence des conditions aux limites sur la méthode Volume Fini, lorsque celle-ci est mise en oeuvre pour le calcul approché de la solution d'une équation hyperbolique non-linéaire posée sur un domaine borné : les données étant des fonctions mesurables bornées, on montre la convergence de la méthode Volume Fini vers la solution faible entropique du problème. La manière même dont sont prises en compte les conditions aux limites lors de l'implémentation de la méthode Volume Fini est discutée dans le deuxième chapitre, en s'appuyant sur l'analyse de trois situations rencontrées dans un contexte industriel. On donne ensuite une estimation, dans l'espace L1, de l'erreur commise en faisant une approximation de la solution faible entropique par la solution d'un problème de diffusion avec viscosité petite. Dans le quatrième chapitre est analysée l'influence des conditions aux limites sur l'intégrabilité éventuelle de la solution et exposée une théorie L1 des lois de conservation sur domaine borné. Les outils développés dans le premier chapitre sont ensuite appliqués à l'étude des équations paraboliques dégénérées posées sur domaine borné. On définit une notion de solution entropique pour un problème avec conditions aux limites non-homogènes, puis on prouve la convergence de la méthode Volume Fini. Les deux derniers chapitres sont consacrés à l'analyse, d'un point de vue théorique et numérique, d'une loi de conservation avec coefficient discontinu ainsi qu'à l'étude d'une approximation non locale d'une loi de conservation.