LE TRAVAIL PRESENTE DANS CETTE THESE PORTE SUR L'ETUDE THEORIQUE DE LA CONVERGENCE DE SCHEMAS NUMERIQUES UTILISES POUR LA RESOLUTION D'EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES ET NON LINEAIRES. LES METHODES D'APPROXIMATION SONT DE TYPE VOLUMES FINIS SUR DES MAILLAGES IRREGULIERS EN ESPACE. ON CONSIDERE DES SCHEMAS DECENTRES AMONT ET DE TYPE VAN LEER (QUASI D'ORDRE 1 EN ESPACE). POUR CHAQUE SCHEMA, ON ETABLIT UNE ESTIMATION EN NORME INFINIE SUR LA SOLUTION APPROCHEE. DANS LE CAS DE RECTANGLES, LE SCHEMA EST A VARIATION TOTALE DECROISSANTE ET A L'AIDE DE THEOREMES DE COMPACITE, ON MONTRE LA CONVERGENCE DE LA SOLUTION APPROCHEE VERS LA SOLUTION FAIBLE (ENTROPIQUE) DU PROBLEME DANS L'ESPACE DES FONCTIONS LOCALEMENT INTEGRABLES. CETTE PROPRIETE SUR LE SCHEMA N'EST PLUS VERIFIEE DANS LE CAS DE TRIANGLES. IL EST CEPENDANT POSSIBLE D'OBTENIR UNE ESTIMATION FAIBLE SUR UNE VARIATION TOTALE PONDEREE, SUFFISANTE POUR OBTENIR LA CONVERGENCE DANS LE CAS LINEAIRE. DANS LE CAS NON LINEAIRE, ON UTILISE LA THEORIE DES SOLUTIONS MESURES INTRODUITES PAR DI PERNA. ON DEMONTRE UN THEOREME GENERAL SUR LES SOLUTIONS MESURES QUI PERMET D'ETABLIR LA CONVERGENCE DE LA SOLUTION APPROCHEE DANS L'ESPACE DES FONCTIONS DE PUISSANCE PIEME LOCALEMENT INTEGRABLE, POUR TOUT P SUPERIEUR OU EGAL A 1, VERS LA SOLUTION FAIBLE ENTROPIQUE

L'OBJET DE CE TRAVAIL EST L'ETUDE THEORIQUE DE SCHEMAS VOLUMES FINIS POUR CERTAINS PROBLEMES HYPERBOLIQUES. DANS LES TROIS PREMIERS CHAPITRES, NOUS NOUS INTERESSONS A UNE EQUATION HYPERBOLIQUE NON LINEAIRE ET, DANS LE DERNIER CHAPITRE, NOUS ETUDIONS LE CAS D'UN SYSTEME HYPERBOLIQUE LINEAIRE AVEC CONDITIONS AUX LIMITES. DANS TOUS LES CAS, NOUS CHERCHONS A ETABLIR LA CONVERGENCE DES SCHEMAS CONSIDERES ET A EVALUER LEUR PRECISION EN DEMONTRANT DES ESTIMATIONS D'ERREUR. POUR LE PROBLEME HYPERBOLIQUE SCALAIRE, NOUS DEVELOPPONS TOUT D'ABORD DES SCHEMAS D'ORDRE UN EN ESPACE. NOUS DEMONTRONS L'EXISTENCE ET L'UNICITE DE LA SOLUTION ENTROPIQUE TOUT EN ETABLISSANT LA CONVERGENCE DES SCHEMAS VERS CELLE-CI. NOUS OBTENONS EGALEMENT DES ESTIMATIONS D'ERREUR (EN NORME L 1 ESPACE-TEMPS) ENTRE SOLUTION APPROCHEE ET SOLUTION ENTROPIQUE DE L'ORDRE DE H 1 / 4 (H EST LA TAILLE DU MAILLAGE). ENSUITE, NOUS ETENDONS CES RESULTATS A DES SCHEMAS D'ORDRE DEUX EN ESPACE DE TYPE MUSCL. ENFIN, DANS UNE DERNIERE PARTIE, NOUS NOUS INTERESSONS A UN SYSTEME CONSTITUE DE DEUX EQUATIONS LINEAIRES COUPLEES PAR LES CONDITIONS AUX LIMITES. NOUS PROUVONS L'EXISTENCE ET L'UNICITE DE LA SOLUTION FAIBLE PUIS LA CONVERGENCE DE SCHEMAS VERS CETTE SOLUTION. NOUS PRESENTONS ENSUITE DES TESTS NUMERIQUES QUI MONTRENT UNE ESTIMATION D'ERREUR DE L'ORDRE DE H 1 / 2.

The first volume of CFD Review was published in 1995. The purpose of this new publication is to present comprehensive surveys and review articles which provide up-to-date information about recent progress in computational fluid dynamics, on a regular basis. Because of the multidisciplinary nature of CFD, it is difficult to cope with all the important developments in related areas. There are at least ten regular international conferences dealing with different aspects of CFD.It is a real challenge to keep up with all these activities and to be aware of essential and fundamental contributions in these areas. It is hoped that CFD Review will help in this regard by covering the state-of-the-art in this field.The present book contains sixty-two articles written by authors from the US, Europe, Japan and China, covering the main aspects of CFD. There are five sections: general topics, numerical methods, flow physics, interdisciplinary applications, parallel computation and flow visualization. The section on numerical methods includes grids, schemes and solvers, while that on flow physics includes incompressible and compressible flows, hypersonics and gas kinetics as well as transition and turbulence. This book should be useful to all researchers in this fast-developing field.

On s'intéresse à l'étude de schémas volumes finis pour des équations elliptiques et hyperboliques sur des domaines bornes. L'originalité de ce travail réside dans les traitements des conditions aux limites et du couplage elliptique hyperbolique. Les chapitres 2 et 3 sont consacrés à des schémas volumes finis pour une équation elliptique avec condition aux limites de Neumann et une équation hyperbolique linéaire. On établit des estimations d'erreur pour l'équation elliptique en norme h#1 discrète ainsi que l#q pour 1 q +, en montrant des injections discrètes de Sobolev. On montre la convergence de la solution approchée associée à l'équation hyperbolique vers la solution faible de cette dernière en passant à la limite dans l'équation discrétisée. Le chapitre 4 traite d'un schéma volumes finis pour une équation elliptique avec conditions de Fourier. On montre la convergence du schéma en établissant des estimations d'erreur similaires à celles établies dans les chapitres précédents, la différence essentielle provient des termes de bord. Le chapitre 5 traite de la convergence d'un schéma volumes finis pour un système elliptique hyperbolique non linéaire. En utilisant les résultats du chapitre 2 sur l'équation elliptique, on montre la convergence de la solution approchée associée à l'équation hyperbolique vers la solution entropique. De plus, on établit des estimations d'erreur en norme l#1. Pour cela, on utilise la notion de solution processus entropique (ou mesures de Young) ainsi qu'une technique introduite par S.N. Kruskov. Dans le chapitre 6, on montre la convergence de schémas volumes finis à flux monotone pour une équation hyperbolique non linéaire. Pour établir ce résultat, on utilise une notion de trace pour les fonctions l# utile pour passer à la limite dans le schéma numérique.