With this text, Jonathan Partington explores the application of mathematical analysis to problems of interpolation and engineering, including systems identification, and signal processing and sampling.

Des systèmes dynamiques avec petit nombre de degrés de liberté et non-linéarité irrégulière sont étudiés. Les possibilités, mais surtout les limites, d'une superposition modale pour des problèmes linéaires de vibro-impact sont mises en évidence et illustrées sur le choc entre solides rigides. L'effet sur la dynamique d'un système de la présence de discontinuités de type impact ou friction dans les équations du mouvement est discuté à partir de méthodes analytiques, et en particulier la stabilité de réponses périodiques singulières est examinée dans un cadre général à un degré de liberté. D'autre part, les propriétés de convergence de schémas numériques adaptés aux systèmes mécaniques avec contrainte unilatérale sont comparées à la fois par des résultats théoriques donnant des estimations de l'erreur commise, et par des simulations numériques sur un exemple pour lequel une solution de référence est connue. L'étude se focalise notamment sur le comportement de ces différentes méthodes en présence de solutions possédant des suites infinies de chocs. Enfin, deux applications d'ingénierie pouvant être représentées par des modèles à non-linéarité irrégulières sont traitées : la première consiste en l'identification d'un grésillement parasite dans une boîte de vitesses à partir de la prise en compte de jeux mécaniques, et la seconde est consacrée à la mise en place d'une nouvelle modélisation du contact entre un solide indéformable et un sol, intégrant des phénomènes plastiques, destinée à être utilisée pour des simulations déboulements rocheux.

Dans de nombreuses applications modernes, l’interaction de plus en plus importante entre les systèmes numériques (ordinateurs, logiciels, composants logiques, etc.) et les processus physiques (relations entre signaux continus) a conduit, en Automatique, à l’émergence et à la formalisation des systèmes dits hybrides. Formellement, les systèmes hybrides peuvent être définis comme des systèmes mixtes où interagissent des phénomènes de nature à la fois continue et événementielle. L’analyse et la conduite de tels systèmes comme de tout autre type de système dynamique nécessitent bien souvent que l’on dispose d’un modèle mathématique de ces systèmes. Ainsi, nous nous intéressons dans ce travail, à l’identification de systèmes hybrides linéaires à partir de mesures entrée-sortie. Après avoir fait le point sur les méthodes disponibles dans la littérature récente en relation avec ce sujet, nous mettons en évidence la nécessité de développer des méthodes d’identification de systèmes hybrides multivariables dans le contexte très délicat où ni le nombre de sous-modèles constitutifs du système hybride, ni les ordres de ces sous-modèles, ni leurs paramètres ne sont connus a priori.

LES TRAVAUX PRESENTES DANS CETTE THESE S'INSCRIVENT DANS LE CADRE DE L'IDENTIFICATION DE SYSTEMES DYNAMIQUES. IDENTIFIER UN SYSTEME CONSISTE A CONSTRUIRE UN MODELE MATHEMATIQUE DONT LE COMPORTEMENT AU COURS DU TEMPS EST PROCHE DE CELUI DU SYSTEME. LE MODELE EST OBTENU PAR INFERENCE A PARTIR DE DONNEES NUMERIQUES RECUEILLIES AU COURS DU FONCTIONNEMENT DU SYSTEME. LE MODELE EST ENSUITE UTILISE SOIT EN TANT QU'OUTIL DE PREDICTION DES SORTIES DU SYSTEME SOIT EN TANT QU'OUTIL DE SIMULATION DE SON FONCTIONNEMENT. AU SEIN DE LA THEORIE DES SYSTEMES DYNAMIQUES, LA THEORIE DES SYSTEMES LINEAIRES PRESENTE LES AVANTAGES D'ETRE UNIFIEE ET BIEN MAITRISEE DEPUIS PLUSIEURS DECENNIES. ELLE REPOSE SUR DE NOMBREUX FONDEMENTS THEORIQUES ISSUS DE L'ALGEBRE LINEAIRE, DE L'ANALYSE NUMERIQUE... EN CE QUI CONCERNE LES SYSTEMES DYNAMIQUES NON LINEAIRES, IL N'EXISTE, A L'HEURE ACTUELLE, PAS DE CONTREPARTIE ET LES TECHNIQUES LINEAIRES CLASSIQUES S'AVERENT SOUVENT INSUFFISANTES LORSQUE LES SYSTEMES DYNAMIQUES ETUDIES SONT DE COMPLEXITE ELEVEE ET PRESENTENT DE FORTES NON LINEARITES. LES TRAVAUX REALISES APPORTENT UNE CONTRIBUTION EN FAVEUR DU DEVELOPPEMENT DE LA THEORIE DES SYSTEMES NON LINEAIRES ; LA PRINCIPALE MOTIVATION A ETE DE DEMONTRER LES POTENTIALITES DES MODELES NON LINEAIRES TELS QUE LES MODELES CONNEXIONNISTES A DECRIRE LA DYNAMIQUE DE SYSTEMES NON LINEAIRES. POUR CE FAIRE, TROIS SYSTEMES ONT ETE IDENTIFIES : UNE COLONNE A DISTILLER, L'ARC ELECTRIQUE D'UN FOUR A COURANT ALTERNATIF ET UN CARREFOUR POUR LEQUEL L'ECOULEMENT DU TRAFIC EST GERE PAR DES FEUX TRICOLORES. LES RESULTATS DE L'IDENTIFICATION PERMETTENT DE CONCLURE A LA SUPERIORITE, PAR RAPPORT AUX MODELES LINEAIRES CLASSIQUES, DES MODELES NON LINEAIRES A DECRIRE LA DYNAMIQUE DE SYSTEMES PRESENTANT DE FORTES NON LINEARITES. DE PLUS, ILS SOULIGNENT CLAIREMENT LES PRINCIPALES DIFFICULTES INHERENTES A L'IDENTIFICATION DONT LE CHOIX DES REGRESSEURS, CELUI DES HYPOTHESES RELATIVES A LA NATURE ET CONTRIBUTION DU BRUIT...