Ce travail aborde la théorie des équations aux dérivées partielles à retard et des équations aux dérivées partielles de type neutre. On rencontre les équations aux dérivées partielles à retard dans de très nombreux domaines : physique, dynamique de populations, biologie, contrôle optimal, etc. D'une manière générale, les retards apparaissent à cause du temps nécessaire pour que le système réponde à une certaine évolution ou parce qu'un certain seuil doit être atteint avant que le système ne soit activé. Les équations à retard discret sont définies à partir de distributions de Dirac en des points de la demi-droite négative. Les équations aux dérivées partielles de type neutre font intervenir le produit de composition d'opérateurs de derivation en temps et espace, et de mesures à support sur la demi-droite temporelle négative. Ces dernières équations trouvent leur motivation dans l'apparition récente de modèles de circuits électriques constitués d'une grande quantité d'oscillateurs. C'est un exemple classique, dans la théorie des équations différentielles, qu'un circuit électrique non linéaire peut être réduit à une équation de type neutre. L'étude de ce problème a été initiée, ces dernières années, par j.Wu et ses collaborateurs. Il est bien connu que la méthode des semi-groupes permet de traiter une très large classe d'équations aux dérivées partielles à retard et de type neutre. Néanmoins, il existe des situations ou les opérateurs qui interviennent dans ces équations sont à domaine non dense et par conséquent, n'engendrent pas de semi-groupes. La méthode que nous avons utilisée dans cette thèse nous a permis de surmonter cette difficulté. Les principaux résultats obtenus dans ce domaine sont : des résultats d'existence locale et globale, la propriété du semi-groupe et son générateur infinitésimal, la décomposition spectrale de l'espace d'état en somme directe de sous-espaces invariants par le semi-groupe linéaire, des résultats d'existence de solutions bornées, périodiques et presque-periodiques, et l'existence d'un semi-groupe non linéaire par la formule exponentielle de Crandall-Liggett. Nous avons aussi démontré le théorème de bifurcation de Hopf locale pour les équations aux dérivées partielles à retard, ce qui correspond à un résultat d'existence de solutions périodiques.

La thèse étudie les équations à retard avec impulsions. Par impulsion, on entend un changement brusque de l'état d'un système, soit, au niveau de la variable d'état du système, soit à celui de l'équation définissant le système. Ici, nous nous limitons au premier cas et nous supposons qu'à chacun des instants d'une suite, bornée ou non d'instants, l'état passe d'une position à une autre, par suite d'une transformation qui ne dépend que du moment d'impulsions. Nous explorons d'abord un modèle provenant de la biologie. La théorie développée dans ce travail nous permet d'étudier la stabilité via la méthode de Lyapunov, pour une équation différentielle ordinaire avec impulsions, et de généraliser la formule de la variation de la constante établie antérieurement par O. Arino et I. Gyori pour une classe d'équations différentielles à retard particulière avec impulsions. Nous discutons ensuite la stabilité. Nous travaillons dans le cadre des équations à retard, essentiellement dans le cas linéaire. Nous élaborons une théorie générale des équations à retard avec impulsions en nous appuyant sur : 1) la théorie de l'extrapolation (qui permet de passer d'une équation non autonome à une équation autonome) ; 2) la théorie des semi-groupes intégrés cette dernière permet d'éliminer l'effet des discontinuités produites par les impulsions sur le semi-groupe. Enfin, on donne un autre résultat d'existence de solutions périodiques en nous appuyant sur la méthode des sur et sous-solutions.

UNE 1ERE PARTIE EST CONSACREE A L'EQUATION DE SCHROEDINGER. ON ETUDIE LA CONTINUITE DU PHENOMENE D'EXPLOSION PAR RAPPORT AUX DONNEES INITIALES ET PAR RAPPORT ASUX NONLINEARITES. ENSUITE, ON ETUDIE CERTAINS PHENOMENES SE PRODUISANT A L'EXPLOSION, EN PARTICULIER L'EXISTENCE DE LIMITE A L'EXPLOSION DANS DES ESPACES FONCTIONNELS ADEQUATS. PAR AILLEURS, NOUS DEMONTRONS L'EXISTENCE D'ETATS STATIONNAIRES POUR UN MODELE DE CAVITEES OPTIQUES FAISANT INTERVENIR L'EQUATION DE SCHROEDINGER. DANS UNE 2EME PARTIE, ON ETUDIE L'EXISTENCE D'ETATS STATIONNAIRES POUR L'EQUATION DE DIRAC NON LINEAIRE ET UN SCHEMA NUMERIQUE POUR LES EQUATIONS D'EULER

Dans ce travail nous étudions les équations différentielles à retard en dimension finie et infinie par la méthode de la transformée de Laplace. L'origine de notre intérêt pour cette étude est l'étude d'un modèle de dynamique de population. Le modèle est un système d'équations aux dérivées partielles avec des termes fonctionnels à retard, que l'on ramène par changement de fonctions inconnues à un système d'équations différentielles à retard en dimension infinie. L'étude de la stabilité des solutions stationnaires de l'équation non linéaire passe par celle de l'équation linéarisée. Dans le cadre de dimension infinie et des opérateurs non bornés que l'on a considérés dans notre travail, il n'existe pas une théorie générale de la stabilité laquelle repose sur la détermination des propriétés spectrales du semi-groupe et des résultats techniques tels que la formule de variation de la constante. L'objectif principal de la thèse a été d'élaborer des outils pour l'étude de ces propriétés. Le point de vue adopté ici est celui de la transformée de Laplace, qui permet de construire la solution fondamentale de l'équation linéaire et de mettre en évidence une équation caractéristique dont les déterminations du spectre et la dimension de l'espace propre généralisé. Les résultats principaux de notre travail sont : 1) une extension du théorème de Levinger au cadre de dimension infinie. 2) la détermination de la solution fondamentale par la transformée de Laplace. 3) une forme partielle du théorème de Levinger déduite de l'étude des sous-espaces invariants et la résolution de l'équation différentielle à retard.

Ce cours d'analyse est consacré à l'exposition d'un certain nombre de thèmes classiques en théorie des équations aux dérivées partielles et s'adresse à des étudiants de master, des élèves en écoles d'ingénieurs ou à tous ceux qui désirent connaître cette partie importante des mathématiques. Ce travail part du théorème d'Existence et d'Unicité pour les solutions d'équations différentielles non-linéaires, aborde la résolution des équations scalaires linéaires du 1er ordre et s'intéresse ensuite aux équations scalaires quasi-linéaires. La transformation de Fourier ici présentée est très importante car elle permet de résoudre les équations à coefficients constants de la forme P(u) = F où P est un opérateur différentiel en (t, x). Les équations des ondes, de la chaleur et de Schrödinger sont toutes de ce type et font l'objet d'une résolution très détaillée au moyen de formules explicites. On quitte ensuite le domaine des équations à coefficients constants pour celui des équations à coefficients variables. Les méthodes employées pour résoudre ces équations donnent lieu à des développements très importants et font largement partie du domaine de la recherche.