CETTE THESE SE COMPOSE DE DEUX PARTIES DISTINCTES. DANS LA PREMIERE PARTIE, ON ETUDIE QUELQUES METHODES ALGEBRIQUES ET GEOMETRIQUES D'ETUDE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES NON-LINEAIRES. POUR LE SYSTEME DE LOTKA-VOLTERRA A TROIS ESPECES, ON EN TIRE UNE CARACTERISATION DES INTEGRALES PREMIERES POLYNOMIALES ET L'ABSENCE GENERIQUE D'AUTRES INTEGRALES PREMIERES. UNE NOUVELLE METHODE DE RECHERCHE D'INTEGRALES PREMIERES EST PRESENTEE. ELLE EST FONDEE SUR L'ETUDE GEOMETRIQUE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND ORDRE PAR R. LIOUVILLE. LA DEUXIEME PARTIE EST CONSACREE A L'ETUDE DES EQUATIONS DISCRETES NON-LINEAIRES ET A LA DISCRETISATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES. LA DEMARCHE SUIVIE EST DE CONSIDERER LE DISCRET COMME UNE PERTURBATION DU CONTINU. ELLE CONDUIT NOTAMMENT A PRIVILEGIER UNE NOUVELLE METHODE POUR EFFECTUER LE TEST DE PAINLEVE DISCRET. POUR LE PROBLEME DE DISCRETISATION, UNE METHODE HEURISTIQUE EST DEGAGEE. ELLE FOURNIT DES EQUIVALENTS DISCRETS DES SYSTEMES DE BIANCHI IX ET D'HALPHEN ET DE L'EQUATION DE CHAZY. ELLE EXPLIQUE EGALEMENT LE ROLE PARTICULIER DE L'EQUATION MIXTE ( DIFFERENCE-DIFFERENTIAL ) D'ABLOWITZ ET LADIK AINSI QUE L'ABSENCE A CE JOUR D'UNE BONNE VERSION MIXTE DE L'EQUATION DE KORTEWEG-DE VRIES.

Nonlinear differential or difference equations are encountered not only in mathematics, but also in many areas of physics (evolution equations, propagation of a signal in an optical fiber), chemistry (reaction-diffusion systems), and biology (competition of species). This book introduces the reader to methods allowing one to build explicit solutions to these equations. A prerequisite task is to investigate whether the chances of success are high or low, and this can be achieved without any a priori knowledge of the solutions, with a powerful algorithm presented in detail called the Painlevé test. If the equation under study passes the Painlevé test, the equation is presumed integrable. If on the contrary the test fails, the system is nonintegrable or even chaotic, but it may still be possible to find solutions. The examples chosen to illustrate these methods are mostly taken from physics. These include on the integrable side the nonlinear Schrödinger equation (continuous and discrete), the Korteweg-de Vries equation, the Hénon-Heiles Hamiltonians, on the nonintegrable side the complex Ginzburg-Landau equation (encountered in optical fibers, turbulence, etc), the Kuramoto-Sivashinsky equation (phase turbulence), the Kolmogorov-Petrovski-Piskunov equation (KPP, a reaction-diffusion model), the Lorenz model of atmospheric circulation and the Bianchi IX cosmological model. Written at a graduate level, the book contains tutorial text as well as detailed examples and the state of the art on some current research.

CE TRAVAIL REPRESENTE UNE APPROCHE POUR UNE MEILLEURE COMPREHENSION DE L'INTEGRABILITE DE LA CLASSE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES NON LINEAIRES QUI POSSEDENT LES SYMETRIES DE TRANSLATION DU TEMPS ET DE REDIMENSIONNEMENT. A CET EFFET, NOUS AVONS UTILISE PLUSIEURS APPROCHES THEORIQUES AVEC UN SOUCI PARTICULIER DE LEUR CARACTERE OPERATIONNEL. LE PREMIER CHAPITRE CONCERNE LA RESOLUTION D'EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES PAR LE BIAIS DES SYMETRIES DE LIE. EN PARTICULIER, NOUS AVONS MONTRE L'IMPORTANCE DES SYMETRIES HOMOGENES ET EXPONENTIELLES NON LOCALES DANS LA RESOLUTION D'EQUATIONS DIFFERENTIELLES D'ORDRE DEUX ET TROIS. LE DEUXIEME CHAPITRE TRAITE DE L'ANALYSE DES SINGULARITES DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND ET DU TROISIEME ORDRE INVARIANTES SOUS LES DEUX SYMETRIES CITEES EN LIAISON AVEC L'ETUDE DU TEST ET DE LA PROPRIETE DE PAINLEVE. DANS UNE VOIE NOUVELLE, NOUS AVONS CONSTRUIT DES SERIES DE LAURENT, AU VOISINAGE DE SINGULARITES SITUEES SOIT A DISTANCE FINIE SOIT A DISTANCE INFINIE, SANS DIFFERENCIER LES RELATIONS DE RESONANCE ET DE COMPATIBILITE. NOUS AVONS MIS AUSSI EN VALEUR L'EFFET SIMPLIFICATEUR DES DEUX SYMETRIES SUR CES DEUX RELATIONS. LE TROISIEME CHAPITRE EST ORIENTE VERS LA METHODE ALGORITHMIQUE DE LA FONCTION G QUI S'APPARENTE A UNE METHODE PERTUBATIVE. NOUS AVONS ELABORE CETTE METHODE DANS L'INTENTION D'UNIFIER LES SERIES DE PAINLEVE ET LES SERIES PSI. FINALEMENT, LE QUATRIEME CHAPITRE, AVEC UNE FORTE COLORATION NUMERIQUE PORTE SUR LES SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES DE L'EQUATION DE CHAZY GENERALISEE. AINSI NOUS AVONS MIS EN EVIDENCE, POUR LES VALEURS PAIRES D'UN DES DEUX PARAMETRES DE CETTE EQUATION, UN CYCLE LIMITE.

Excerpt from Contribution A l'Étude des Équations Différentielles Linéaires Et Homogènes Intégrables Algébriquement La première étude que présente ensuite la littérature de notre question est relative à un cas particulier, à l'équation différentielle du deuxième ordre vérifiée par la série hypergéométrique de Gauss. M. Schwarz 2) prenant pour point de départ la théorie de la représentation con forme de Riemann, détermine tous les cas où cette équation admet des in tégrales algébriques. About the Publisher Forgotten Books publishes hundreds of thousands of rare and classic books. Find more at www.forgottenbooks.com This book is a reproduction of an important historical work. Forgotten Books uses state-of-the-art technology to digitally reconstruct the work, preserving the original format whilst repairing imperfections present in the aged copy. In rare cases, an imperfection in the original, such as a blemish or missing page, may be replicated in our edition. We do, however, repair the vast majority of imperfections successfully; any imperfections that remain are intentionally left to preserve the state of such historical works.