Nous étudions dans cette thèse, une loi de conservation scalaire hyperbolique d'ordre un avec terme source stochastique et flux non-linéaire. Le terme source stochastique peut être considéré comme la superposition d'une infinité de bruits Gaussiens dépendants de la quantité conservée. Nous donnons une définition de solution de cette équation aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) d'un point de vue intermédiaire entre celui de l'analyste (solution non régulière en espace, introduction d'une variable supplémentaire dite cinétique) et celui du probabiliste (solution processus stochastique continu à droite limité à gauche en temps). L'unicité de la solution est prouvée grâce à un dédoublement des variables à la Kruzkov. Nous étudions la stabilité de la loi de conservation pour donner un théorème général donnant les conditions d'existence d'une solution et les conditions de convergence d'une suite de solutions approchées vers la solution de la loi de conservation. Cette étude se fait grâce à des outils probabilistes : représentation des martingales sous forme d'intégrales stochastiques, existence d'un espace probabilisé sur lequel la convergence de lois de probabilités est équivalente à la convergence presque sûre de variables aléatoires. Pour finir l'étude, nous prouvons l'existence d'une solution grâce aux propriétés de l'approximation de l'EDPS par un schéma numérique des Volumes Finis explicite en temps, puis la convergence de cette approximation vers la solution de l'EDPS. Les outils utilisés sont ceux de l'analyse, spécifiquement ceux de la méthode des Volumes Finis en déterministe, auxquels il faut ajouter ceux du calcul stochastique (outils probabilistes).

ON S'INTERESSE DANS CETTE THESE A L'ETUDE DES SYSTEMES HYPERBOLIQUES DE LOIS DE CONSERVATION NON-LINEAIRES AVEC TERMES SOURCES. D'UN POINT DE VUE THEORIQUE, ON COMMENCE PAR ETUDIER LE PROBLEME DE RIEMANN GENERALISE. ENSUITE, ON MONTRE QU'UNE CONDITION SUFFISANTE DE CONVERGENCE DES APPROXIMATIONS VISQUEUSES POUR UNE LOI SCALAIRE NON-HOMOGENE EST D'ASSURER UNE ESTIMATION UNIFORME EN AMPLITUDE. LE PROBLEME EST PLUS DELICAT POUR UN SYSTEME. L'ETUDE DES DISCRETISATIONS IMPLICITES D'UNE LOI SCALAIRE GENERALE MONTRE QU'IL EXISTE DES CONDITIONS DE TYPE CFL POUR GARANTIR L'INVERSIBILITE DU SCHEMA ET PREVENIR L'APPARITIONS D'OSCILLATIONS PARASITES DANS LA SOLUTION NUMERIQUE. ON INTRODUIT ENSUITE UN SCHEMA “WELL-BALANCED” AU SENS DE GREENBERG ET LEROUX CONVERGENT VERS LA SOLUTION ENTROPIQUE DANS LE CAS SCALAIRE. L'EXTENSION AUX SYSTEMES GENERAUX SE FAIT PAR LE BIAIS D'UNE REFORMULATION DES TERMES SOURCES EN PRODUITS NON-CONSERVATIFS. ON CALCULE ALORS UNE LINEARISEE DE TYPE ROE POUR LES EQUATIONS D'EULER NON-HOMOGENES. PAR SOUCI DE ROBUSTESSE, ON DERIVE AUSSI UN SCHEMA DE TYPE “DECOMPOSITION DE FLUX” NON-CONSERVATIF PERMETTANT D'APPROCHER DES SYSTEMES VARIES ET CONSISTANT AVEC LES LIMITES RELAXEES. DES TESTS SONT AUSSI EFFECTUES EN REGIME RESONANT ET POUR DES PROBLEMES DIPHASIQUES SIMPLIFIES BIDIMENSIONNELS.

L'OBJET DE CE TRAVAIL EST L'APPROXIMATION NUMERIQUE PAR ELEMENTS FINIS DES SYSTEMES HYPERBOLIQUES D'EQUATIONS NON-LINEAIRES, ET EN PARTICULIER DES EQUATIONS D'EULER ET LA DYNAMIQUE DES GAZ. NOUS NOUS INTERESSONS ICI PLUS PARTICULIEREMENT A LA CLASSE DES SYSTEMES HYPERBOLIQUES K-DIAGONALISABLES TELLE QUE DEFINIE PAR P. A. MAZET, DONT UNE GRAND PART DES SYSTEMES D'EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES ISSUES DE LA PHYSIQUE MATHEMATIQUE FONT PARTIE. CETTE MOTION, EXTENSION DE LA DIAGONALISABILITE TOTALE DU CADRE LINEAIRE, EXPRIME LA PROPRIETE QUE POSSEDE UN SYSTEME DE POUVOIR S'ECRIRE COMME MOYENNE D'EQUATIONS SCALAIRES LINEAIRES. LES APPROXIMATIONS PAR ELEMENTS FINIS DE CES SYSTEMES SONT ALORS RAMENEES A CELLES D'EQUATIONS DE CONVECTION LINEAIRES. CONFORMEMENT A CETTE APPROCHE, ON DEVELOPPE ICI LA RESOLUTION DE TELS SYSTEMES, ET EN PARTICULIER DU SYSTEME DES EQUATIONS D'EULER, PAR LA METHODE DE PETROV-GALERKIN DANS UNE VERSION DE TYPE DIFFUSION ARTIFICIELLE

Dans ce travail de thèse sont étudiés des problèmes mathématiques (théorie et approximation) issus de la théorie de la dynamique des gaz compressibles et modélisés par les équations d'Euler. L'approximation numérique de ces problèmes physiques a nécessite une étude détaillée de quelques problèmes de conditions aux limites. Les approximations numériques obtenues sont basées sur la methode des volumes finis, qui nous a semble la mieux adaptée pour la discrétisation des systèmes hyperboliques de lois de conservation en général. La convergence de la methode des volumes finis est obtenue pour les problèmes de lois de conservation scalaires avec des conditions aux limites, a l'aide d'unicité dans l'espace des solutions mesures

ETUDE NUMERIQUE DES ECOULEMENTS INSTATIONNAIRES DE FLUIDES PARFAITS COMPRESSIBLES EN PRESENCE D'ONDES DE CHOC. APPROXIMATION NUMERIQUE DES SOLUTIONS FAIBLES DES SYSTEMES HYPERBOLIQUES DE LOIS DE CONSERVATION A UNE OU DEUX VARIABLES D'ESPACE PLUS LE TEMPS, A L'AIDE DE SCHEMAS AUX DIFFERENCES FINIES PRECIS AU SECOND ORDRE, PERMETTANT DE CALCULER LES ONDES DE DISCONTINUITE SANS TRAITEMENT PARTICULIER

CETTE THESE COMPORTE TROIS PARTIES INDEPENDANTES. DANS LA PREMIERE PARTIE ON S'INTERESSE A L'APPROXIMATION NUMERIQUE DE LA SOLUTION ENTROPIQUE D'UNE LOI DE CONSERVATION. ON PROPOSE L'ETUDE D'UNE NOUVELLE CLASSE DE SCHEMAS NUMERIQUES PROVENANT DES METHODES D'APPROXIMATION DES EQUATIONS D'HAMILTON-JACOBI-BELLMAN. ON OBTIENT AINSI UNE CLASSE DE SCHEMAS NUMERIQUES QUI SONT NON-CONSERVATIFS, MAIS POUR LEQUELS ON ETABLIT UN THEOREME GENERAL DE CONVERGENCE VERS LA SOLUTION ENTROPIQUE. DANS LA DEUXIEME PARTIE ON ETUDIE LA SOLUTION MULTIVOQUE D'UNE LOI DE CONSERVATION. GRACE A LA METHODE DES CARACTERISTIQUES, CETTE ETUDE EST EQUIVALENTE A L'ETUDE D'UNE EQUATION DE TRANSPORT LIBRE QUE L'ON CHERCHE A RESOUDRE EN RESOLVANT UN SYSTEME FERME D'EQUATIONS DES MOMENTS ASSOCIES. C'EST AINSI QU'ON EST CONDUIT NATURELLEMENT, D'UNE PART A LA CONSTRUCTION D'UN MODELE CINETIQUE PAR UN PRINCIPE DE MINIMISATION D'ENTROPIE ET, D'AUTRE PART A LA NOTION DE SOLUTIONS ENTROPIQUES A AU PLUS K BRANCHES COMME SOLUTIONS DU MODELE CINETIQUE. UN DES RESULTATS QUE NOUS OBTENONS EST L'EXISTENCE DE CES SOLUTIONS. DANS LA TROISIEME PARTIE NOUS ETUDIONS UN ALGORITHME RAPIDE POUR LE CALCUL DE LA TRANSFORMEE DE LEGENDRE-FENCHEL DISCRETE D'UNE FONCTION REELLE. NOUS MONTRONS QUE L'ALGORITHME CONVERGE ET QUE L'ORDRE DE CONVERGENCE CROIT AVEC LA REGULARITE DE LA FONCTION TRANSFORMEE. NOUS PRESENTONS DES APPLICATIONS DE CET ALGORITHME AUX EQUATIONS D'HAMILTON-JACOBI POUR LES PROBLEMES DE PROPAGATION DE FLAMME ET AUX LOIS DE CONSERVATION