CE TRAVAIL S'INTERESSE A LA MODELISATION, LE CALCUL NUMERIQUE ET L'ETUDE MATHEMATIQUE D'ECOULEMENTS DIPHASIQUES TURBULENTS CONSTITUES D'UNE PHASE DISPERSEE, DES GOUTTES OU DES PARTICULES, ET D'UNE PHASE CONTINUE, UN GAZ. APRES QUELQUES RAPPELS SUR LES MODELISATIONS EULERIENNES ET LAGRANGIENNES DES ECOULEMENTS DIPHASIQUES DISPERSES, NOUS PRESENTONS LE MODELE UTILISE DANS LA SUITE DE L'ETUDE. IL S'AGIT D'UN MODELE LAGRANGIEN, OU CINETIQUE, QUI PERMET UNE DESCRIPTION DE SPRAYS (I.E. BROUILLARDS DE GOUTTELETTES) POLYDISPERSES QUELCONQUES. DANS UN PREMIER TRAVAIL DE MODELISATION, NOUS NOUS INTERESSONS A L'EFFET DE LA TURBULENCE GAZEUSE SUR LA DISPERSION D'UN SPRAY. CELUI-CI OBEIT A UNE EQUATION CINETIQUE A COEFFICIENTS ALEATOIRES. NOUS ETUDIONS LA STATISTIQUE DES TRAJECTOIRES ALEATOIRES DES PARTICULES SOUMISES A LA TURBULENCE ET ECRIVONS LES EQUATIONS MOYENNES DE TYPE CONVECTION-DIFFUSION DECRIVANT LA DISPERSION D'UN NUAGE DE PARTICULES. DANS LA LIMITE OU LA TURBULENCE DEVIENT UN BRUIT BLANC, LE SPRAY OBEIT A UNE EQUATION CINETIQUE STOCHASTIQUE DONT LA SOLUTION S'EXPRIME A L'AIDE D'UN DEVELOPPEMENT EN CHAOS DE WIENER. DANS UN SECOND TEMPS, NOUS CONSTRUISONS UNE METHODE NUMERIQUE POUR LE CALCUL DE LA DISPERSION D'UN SPRAY DANS UN ECOULEMENT GAZEUX TURBULENT. LE SPRAY EST DECRIT PAR UN MODELE SEMI-FLUIDE, INTERMEDIAIRE ENTRE UN MODELE FLUIDE ET UNE DESCRIPTION CINETIQUE DE LA PHASE DISPERSEE. LE MODELE SEMI-FLUIDE EST OBTENU PAR INTEGRATION EN VITESSE DE L'EQUATION CINETIQUE DE TYPE CONVECTION-DIFFUSION ET PERMET DE DECRIRE LE SPRAY EN REDUISANT LE NOMBRE D'INCONNUES ASSOCIEES. UN SCHEMA NUMERIQUE, CONSISTENT AVEC LE MODELE SEMI-FLUIDE EST PROPOSE. L'INTERACTION AVEC LE GAZ EST PRISE EN COMPTE PAR UNE METHODE PARTICLE IN CELL. DES RESULTATS NUMERIQUES SONT PRESENTES. DANS UNE DERNIERE PARTIE, NOUS ETUDIONS D'UN POINT DE VUE MATHEMATIQUE UN MODELE CINETIQUE SIMPLIFIE DANS LEQUEL LE GAZ EST DECRIT PAR L'EQUATION DE BURGERS ET LE SPRAY PAR L'EQUATION DE TRANSPORT. NOUS MONTRONS TOUT D'ABORD L'EXISTENCE GLOBALE ET L'UNICITE DE SOLUTIONS REGULIERES POUR LE PROBLEME. NOUS IDENTIFIONS ENSUITE LES ONDES PLANES DONT NOUS MONTRONS LA STABILITE LINEAIRE, PUIS LA STABILITE NON LINEAIRE POUR DE PETITES PERTURBATIONS

La modélisation Eulérienne des écoulements diphasiques conduit à des systèmes convectifs diffusifs écrits sous forme non conservative. Nous montrons comment obtenir un système bien posé à partir des équations de Navier-Stokes qui régissent l'écoulement du gaz autour des gouttes et du liquide à l'intérieur des gouttes. Les solutions faibles du système hyperbolique non conservatif extrait du modèle Eulérien sont définies comme limites de solutions du système du second ordre lorsque les phénomènes de diffusion sont négligés. Nous résolvons alors le problème de Riemann. Plus généralement, nous définissons onde de choc pour une grande classe de systèmes hyperboliques écrits sous forme non conservative. La dernière partie est consacrée à l'analyse numérique d'écoulements dyphasiques constitués d'un brouillard de gouttes.

CE MEMOIRE A POUR OBJET LE CALCUL DES COLLISIONS DE GOUTTES DANS DIVERS ECOULEMENTS LAMINAIRES ET TURBULENTS. DANS LE CADRE DE L'APPROXIMATION DES EQUATIONS DE STOKES, LES FORCES D'INTERACTIONS HYDRODYNAMIQUES ENTRE DEUX GOUTTES SONT DETERMINEES DE FACON EXACTE AU MOYEN D'UN SYSTEME DE COORDONNEES BISPHERIQUES. CES FORCES PERMETTENT DE CALCULER LES TAUX DE COLLISION POUR DES ECOULEMENTS DE CISAILLEMENT SIMPLE ET D'ELONGATION PURE. LES SECTIONS DE COLLISION SONT OBTENUES PAR TRAJECTOGRAPHIE. LES RESULTATS MONTRENT UN ACCROISSEMENT DE L'EFFICACITE DE COLLISION LORSQUE L'INERTIE DES GOUTTES CROIT. L'EXPRESSION DU TAUX DE COLLISION EN ECOULEMENT TURBULENT EST ANALOGUE A CELLE UTILISEE EN THEORIE CINETIQUE DES GAZ. LA FONCTION DE DISTRIBUTION DE PAIRES DE PARTICULES EST OBTENUE DANS LE CADRE D'UNE TURBULENCE HOMOGENE ET ISOTROPE ET A L'AIDE DE NOTIONS DE PROBABILITES CONDITIONNELLES. LES TAUX DE COLLISION SONT CALCULES SANS ET AVEC LES FORCES DE GRAVITE. L'EVOLUTION GRANULOMETRIQUE D'UN NUAGE DE GOUTTES EST DECRITE A L'AIDE D'UNE EQUATION CINETIQUE DE TYPE SMOLUCHOWSKI. CETTE EQUATION EST RESOLUE AU MOYEN D'UNE METHODE NUMERIQUE ORIGINALE. DEUX CAS SONT TRAITES. POUR DE PETITES GOUTTES EN ECOULEMENT TURBULENT HOMOGENE ET ISOTROPE, L'ELARGISSEMENT DU SPECTRE DE GOUTTES DEMANDE PLUS DE TEMPS SI LES INTERACTIONS HYDRODYNAMIQUES SONT PRISES EN COMPTE. POUR DE GROSSES GOUTTES, COMPTE TENU DE LA GRAVITE, LA FORMATION PAR COLLISIONS DE GOUTTES DE DIAMETRE SUPERIEUR A 200 MICROMETRES DEPEND FORTEMENT DE LA TURBULENCE. LES RESULTATS CORROBORENT LES RELEVES IN SITU DANS DES NUAGES DE TYPE STRATUS.

Ce dossier résume mes activités de recherche depuis 1989. Ces travaux ont été menés de 1988 à 1990 au Centre de Mathématiques appliquées de l'Ecole Polytechnique puis à partir de 1990 au CERMICS (Ecole des ponts et chaussées-INRIA) et au CMAP. Mon activité de recherche a essentiellement porté sur la compréhension et l'analyse mathématiques des systèmes eulériens d'équations utilisés dans la modélisation d'écoulement diphasiques constitué d'un nuage de particules dans un écoulement de gaz : mes travaux dans ce domaine ont porté sur l'aspect non conservatif des modèles étudiés (justification de la modélisation, définition mathématique de solutions ondes de choc et construction de méthodes numériques adaptées), sur le traitement numérique des termes de traînée qui introduisent en général un amortissement non physique très important des profils calculés ainsi que sur l'analyse de modèles "dégénérés" qui sont courrament utilisés dans des codes numériques : les systèmes utilisés sont par exemple non hyperboliques ! J'oriente maintenant mes recherches vers les modèles de type cinétique et je m'intéresse particulièrement à l'interaction entre la phase gazeuse et la phase dispersée et aux distributions en vitesse du nuage de gouttes. J'ai également travaillé sur la construction d'un schéma numérique pour un modèle simplifié d'écoulements diphasiques ainsi que sur une analyse numérique de la stabilité de flammes planes multiples.

Dans la première partie, on dérive formellement; Pour traiter les points de transitions (i.e. le changement de type d'écoulement surface libre vers charge et vice et versa), on étend la méthode des «ondes fantômes» dans ce contexte et on propose un traitement complètement cinétique. Dans la deuxième partie, on étudie des équations primitives compressibles simplifiées dans le cadre de la modélisation de la dynamique de l'atmosphère. En particulier, on obtient un résultat d'existence de solutions faibles globales en temps en dimension 2 d'espace. On établit également un résultat de stabilité de solutions faibles pour le modèle en dimension 3 d'espace. A cet égard, on introduit un changement de variables convenable qui permet de transformer les équations initiales en un modèle plus simple à étudier. Dans la troisième et dernière partie, on présente une courte introduction à la cavitation. En particulier, on rappelle les différents types de cavitation et les modèles mathématiques de Rayleigh-Plesset pour l'étude d'une bulle isolée et un modèle de mélange plus complexe. En vue de modéliser la cavitation dans les conduites fermées, on introduit un modèle à deux couches pour prendre en compte, dans un premier temps, l'effet d'une poche d'air comprimée par la surface libre et les bords de la conduite. En particulier, le système obtenu, à 4 équations, est généralement non hyperbolique et ses valeurs propres ne sont pas calculables explicitement. On propose alors une approximation numérique basée sur un schéma cinétique mono-couche. Dans le dernier chapitre, on dérive formellement un modèle de transport de sédiments basé sur l'équation de Vlasov couplée à des équations de Navier-Stokes compressibles avec un tenseur de viscosité anisotrope. Ce modèle est ensuite obtenu par le biais de deux analyses asymptotiques.

Milieu poreux déformable. On dérive un modèle mathématique pour un milieu poreux déformable en utilisant la conservation de la masse, la loi de Darcy généralisée et le tenseur de déformation dépendant de la fonction de retrait de vertisol de E. Braudeau. On démontre l'existence globale d'une solution faible de ce problème. On utilise pour la preuve un théorème de compacité de Dubinskii, généralisé pour des hypothèses plus faibles. On montre que les paramètres de Van Genuchten associés à la conductivité hydraulique et au potentiel matriciel sont liés à la régularité de la solution faible. Un logiciel calculant la teneur en eau du milieu poreux déformable, écrit en fortran 90, est mis en place. La méthode des éléments finis et un schéma d'Euler implicite sont utilisés pour le code de calcul. Modèle de Saint-Venant visqueux. On étudie l'existence de solutions pour un modèle de Saint-Venant non linéaire décrivant mathématiquement l'écoulement d'un cours d'eau pour une formulation hauteur-débit. Utilisant la technique du point fixe de Banach dans le cas du système linéarisé on démontre l'existence globale et l'unicité de solutions. Dans le cas non linéaire, l'utilisation du théorème de point fixe de Schauder et d'un résultat de compacité de J. Simon nous permet de prouver l'existence d'une solution pour des temps petits. Des résultats d'une simulation numérique du système de Saint-Venant sont présentés dans le cas d'une rupture de barrage. Des comparaisons sont données en fonction de la viscosité et de la non-linéarité du problème.