LE SYSTEME D'EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES CONSIDERE EST CONSTITUE D'UNE EQUATION DE TYPE NAVIER-STOKES OU EULER COMPRESSIBLE OU INCOMPRESSIBLE COUPLEE AVEC UNE EQUATION DE TYPE TRANSPORT. CE SYSTEME EST D'UN TYPE COMPOSITE ET CHAQUE PROBLEME DOIT FAIRE L'OBJET D'UNE ETUDE PARTICULIERE. LA PREMIERE PARTIE (CHAPITRE 1 ET 2) EST CONSACREE A L'ETUDE D'ECOULEMENTS INCOMPRESSIBLES, UTILISANT UNE METHODE DE COMPACITE LOCALE ET LA METHODE DE POINT FIXE, NOUS AVONS MONTRE DES RESULTATS D'EXISTENCE ET D'UNICITE DE SOLUTIONS REGULIERES. NOUS AVONS D'ABORD CONSIDERE DES ECOULEMENTS DANS UN DOMAINE NON BORNE, L'ESPACE ENTIER OU UN DOMAINE EXTERIEUR REGULIER PAR EXEMPLE. NOUS AVONS AUSSI ETUDIE L'ECOULEMENT DANS UN CANAL BORNE AVEC CONDITIONS AUX LIMITES RENTRANTES A L'ENTREE, ET PERIODIQUES SUR LES PAROIS. LA DEUXIEME PARTIE (CHAPITRE 3 ET 4) EST CONSACREE A L'ETUDE D'ECOULEMENTS FAIBLEMENT COMPRESSIBLES. NOUS AVONS PROPOSE UNE MODELISATION POUR CHACUN DES CAS, INSTATIONNAIRE OU STATIONNAIRE. UTILISANT DES METHODES DE POINT FIXE, NOUS MONTRONS DES RESULTATS D'EXISTENCE DE SOLUTIONS REGULIERES: CAS DU MODELE DE JEFFREYS INSTATIONNAIRE (AVEC UNICITE), CAS DES MODELES DE MAXWELL ET JEFFREYS STATIONNAIRES, OU NOUS MONTRONS EN OUTRE LA CONVERGENCE DU CAS FAIBLEMENT COMPRESSIBLE VERS LE CAS INCOMPRESSIBLE. ENFIN NOUS PRESENTONS UNE ETUDE DE L'HYPERBOLICITE DU MODELE DE MAXWELL INSTATIONNAIRE

L'OBJECTIF DE CES TRAVAUX EST L'ETUDE DES ECOULEMENTS NON ISOTHERMES DE FLUIDES VISCOELASTIQUES INCOMPRESSIBLES. POUR CELA NOUS NOUS SOMMES INTERESSES A L'INFLUENCE DE LA DEPENDANCE DE LA VISCOSITE ET DU TEMPS DE RELAXATION EN LA TEMPERATURE. NOUS CONSIDERONS DES FLUIDES OBEISSANT A UNE LOI DE COMPORTEMENT DIFFERENTIELLE DU TYPE JEFFREYS OU MAXWELL. DANS UNE PREMIERE PARTIE, NOUS MONTRONS L'EXISTENCE D'UNE UNIQUE SOLUTION LOCALE POUR DES ECOULEMENTS NON ISOTHERMES DE FLUIDES VISCOELASTIQUES DANS UN DOMAINE BORNE DE IR#3 EN UTILISANT UNE METHODE DE POINT FIXE. DANS UNE DEUXIEME PARTIE, NOUS PROUVONS L'EXISTENCE ET L'UNICITE DE LA SOLUTION STATIONNAIRE POUR DES ECOULEMENTS DE FLUIDES VISCOELASTIQUES A PETITES FORCES EXTERIEURES. DANS UNE TROISIEME PARTIE, NOUS ETUDIONS L'ECOULEMENT DE COUETTE ENTRE DEUX PLAQUES PARALLELES MAINTENUES A LA MEME TEMPERATURE. NOUS MONTRONS L'EXISTENCE DES SOLUTIONS STATIONNAIRES. L'UNICITE DE LA SOLUTION EST PROUVEE DANS LE CAS OU LES DEPENDANCES EN LA TEMPERATURE DE LA VISCOSITE ET DU TEMPS DE RELAXATION SONT IDENTIQUES. ENFIN, ET DANS LE BUT D'ETUDIER LA SOLUTION GLOBALE DE CE PROBLEME, NOUS REALISONS UNE ETUDE NUMERIQUE DE L'ECOULEMENT DE COUETTE. EN UTILISANT UN SCHEMA DE DIFFERENCES FINIES EN ESPACE ET EN TEMPS, NOUS PRESENTONS QUELQUES EXEMPLES NUMERIQUES POUR LESQUELS LA SOLUTION DU PROBLEME CONSIDERE EST GLOBALE ET UNIQUE.

Ce travail concerne l'étude de l'écoulement d'un fluide viscoélastique (fluide à mémoire) incompressible de type White-Metzner. A cause de la dépendance des fonctions de relaxation et de viscosité par rapport au deuxième invariant du tenseur des taux de déformation, ces modèles conduisent à un système avec équations aux dérivées partielles non linéaires (non quasi-linéaire).Ce travail comporte une partie théorique et une partie numérique. Dans la partie théorique nous nous proposons d'établir plusieurs résultats d'existence, unicité, stabilité concernant le système qui caractérise cet écoulement. Dans un premier temps on a montré, en dimension deux, sous les hypothèses convenables sur les fonctions de relaxation et de viscosité, l'existence locale et l'unicité de solutions régulières pour le problème avec données initiales et conditions aux limites. On a établi ensuite l'existence globale de solutions lorsque les données sont petites ainsi que la stabilité des petites solutions. Ceci nous a permis de démontrer l'existence de solutions petites périodiques en temps (respectivement stationnaires) du système obtenu quand la force est petite et périodique en temps (respectivement stationnaire). Dans un second temps on a étudié le problème stationnaire régi par cet écoulement en utilisant un schéma itératif. Enfin on a montré l'existence et la stabilité linéaire d'un écoulement particulier (écoulement de cisaillement).Dans la partie numérique on a étudié l'écoulement de Poiseuille en proposant une méthode numérique pour le calcul de la vitesse et les contraintes.

Ce travail est consacré à l'analyse mathématique de trois problèmes d'écoulements de fluides viscoélastiques de type Oldroyd. Tout d'abord, nous étudions des écoulements stationnaires faiblement compressibles dans un domaine singulier avec des conditions au bord de type "rentrante-sortante." Nous étudions aussi le problème d'écoulements stationnaires faiblement compressibles dans un coin convexe. En utilisant une méthode de point fixe (premier et deuxième problèmes) et une décomposition de Helmoltz (deuxième problème), nous montrons des résultats d'existence et d'unicité des solutions. Nous étudions également le cas d'un écoulement non stationnaire. Nous montrons un résultat d'existence locale et un résultat d'existence globale, avec des conditions initiales suffisamment petites, pour des fluides compressibles. Nous démontrons aussi la convergence du modèle d'écoulement viscoélastique compressible à faible nombre de Mach vers le modèle incompressible lorsque les données initiales sont "bien préparées."

Cet ouvrage initie le lecteur à l'analyse de certaines équations aux dérivées partielles issues de la mécanique des fluides. Celles-ci sont présentées à partir des principes fondamentaux de la mécanique et de la thermodynamique. Une partie importante du texte est consacrée aux résultats "classiques" sur les problèmes de Stokes et de Navier-Stokes homogènes incompressibles. Enfin, les derniers chapitres traitent de questions issues de travaux de recherche récents.

LE TRAVAIL PRESENTE SE DIVISE EN DEUX PARTIES DISTINCTES. DANS LE PREMIER CHAPITRE NOUS CONSIDERONS LE PROBLEME DE BENARD EN EVOLUTION POUR UN FLUIDE VISCOELASTIQUE DE TYPE PHAN-THIEN TANNER, MAIS LES RESULTATS SE GENERALISENT POUR D'AUTRES LOIS DE COMPORTEMENT. NOUS MONTRONS, POUR DES ETATS PROCHES DE L'ETAT PROCHES DE L'ETAT DE PURE CONVECTION, L'EXISTENCE LOCALE ET L'UNICITE DE SOLUTION, PUIS L'EXISTENCE GLOBALE POUR DES NOMBES DE RAYLEIGH PETITS. LA SECONDE PARTIE EST CONSACREE A L'ETUDE NUMERIQUE D'UN FLUIDE DE TYPE MAXWELL DANS UN CANAL AUX PAROIS ONDULES DANS LE CADRE STATIONNAIRE. NOUS UTILISONS LA FORMULATION DE FONCTION DE COURANT-VORTICITE-CONTRAINTES AFIN DE METTRE EN EVIDENCE LE CHANGEMENT DE TYPE APPARAISSANT DANS L'EQUATION DE LA VORTICITE. DEUX DIRECTIONS SONT ALORS PROPOSEES. UNE METHODE DE PERTURBATION EST MISE EN UVRE DANS LE CHAPITRE II AFIN DE NOUS RAMENER A LA RESOLUTION D'UN PROBLEME LINEAIRE. LE CHAPITRE III EST CONSACRE A L'ETUDE DE CE PROBLEME NON LINEAIRE PAR UNE METHODE DE TYPE NEWTON ET UNE METHODE DE POINT FIXE. DIFFERENTES ILLUSTRATIONS SONT PRODUITES AU COURS DE CETTE PARTIE