DANS UNE PREMIERE PARTIE, ON ANALYSE LA CONVERGENCE DES SCHEMAS VOLUMES FINIS, AVEC INCONNUES AUX CENTRES DES MAILLES, POUR L'EQUATION DE CONVECTION DIFFUSION LINEAIRE DANS UN OUVERT BORNE, AVEC DES CONDITIONS AUX LIMITES DE DIRICHLET ET DE NEUMANN. ILS CONVERGENT DANS H 1 ET LES L P AVEC DES ESTIMATIONS D'ERREURS D'ORDRE UN PAR RAPPORT A LA TAILLE DU MAILLAGE, SOUS DES CONDITIONS DE CONSISTANCE ET DE COERCIVITE. ON APPLIQUE ALORS CE RESULTAT AU SCHEMA DIT DES CELLULES DIAMANT, DONT ON DEMONTRE LA CONVERGENCE SUR DES MAILLAGES DE QUADRANGLES, PUIS SUR DES MAILLAGES DE RECTANGLES RAFFINES LOCALEMENT DE MANIERE NON CONFORME. ON ANALYSE EN PARTICULIER DE MANIERE TRES PRECISE LA COERCIVITE DE CE SCHEMA, QUI EST DELICATE. DANS LA DEUXIEME PARTIE, ON DEMONTRE LA CONVERGENCE DU SCHEMA VOLUMES FINIS DECENTRE AMONT EN ESPACE SUR DES MAILLAGES NON STRUCTURES, ET EXPLICITE EN TEMPS, POUR LES SYSTEMES DE FRIEDRICH, EN DOMAINE BORNE ET AVEC DES CONDITIONS AUX LIMITES MAXIMALES MONOTONES QUELCONQUES (QUI GARANTISSENT L'EXISTENCE D'UNE SOLUTION FORTE). CE RESULTAT ORIGINAL EST BASE SUR LA COMPARAISON DES FORMULATIONS VARIATIONELLES CONTINUES ET DISCRETES POUR LES SYSTEMES DE FRIEDRICH, MAIS AUSSI POUR L'INEGALITE D'ENERGIE QU'ILS VERIFIENT. LA STABILITE L 2 DE LA SOLUTION DISCRETE, OBTENUE PAR LE DECENTREMENT AMONT, ET PAR UN DECENTREMENT ADEQUAT SUR LA FRONTIERE, PERMET D'ESTIMER L'ERREUR COMMISE, QUI EST D'ORDRE UN DEMI PAR RAPPORT A LA TAILLE DU MAILLAGE.

NOUS NOUS SOMMES INTERESSES A LA CONSTRUCTION ET A L'ETUDE D'UNE CLASSE DE SCHEMAS D'ORDRE TROIS OU QUATRE EN TEMPS ET EN ESPACE, BASES SUR DES FORMULATIONS -SHEMAS DE TYPE VOLUMES FINIS OU ELEMENTS FINIS, POUR DES MAILLAGES BIDIMENSIONNELS EN RECTANGLES OU EN TRIANGLES. NOUS CONSIDERONS DANS UN PREMIER TEMPS DES PROBLEMES HYPERBOLIQUES LINEAIRES, COMME L'EQUATION D'ADVECTION ET LE SYSTEME DE MAXWELL. UNE ETUDE DE STABILITE ET DE PRECISION, A L'AIDE DES EQUATIONS EQUIVALENTES A ETE PRESENTEE, AFIN DE COMPARER LES SCHEMAS ET DE RETENIR LES PLUS PRECIS. EN PARTICULIER, POUR LE SYSTEME DE MAXWELL, UNE CONDITION NECESSAIRE ET SUFFISANTE DE STABILITE A ETE DEMONTREE POUR LE SCHEMA DECENTRE D'ORDRE UN, SUR UN MAILLAGE EN RECTANGLES. NOUS AVONS AUSSI PROPOSE UNE NOUVELLE FORMULATION DU SYSTEME DE MAXWELL, EN RAJOUTANT UN TERME DE VISCOSITE DANS LES EQUATIONS, AFIN QUE NOS SCHEMAS PRENNENT MIEUX EN COMPTE LES RELATIONS DE DIVERGENCE. UNE ETUDE DE STABILITE A PERMIS DE DETERMINER LE PARAMETRE DE VISCOSITE N'INTRODUISANT AUCUNE CONTRAINTE SUPPLEMENTAIRE SUR LE PAS DE TEMPS, ET NOUS AVONS MONTRE A L'AIDE DE RESULTATS NUMERIQUES, POURQUOI LA NOUVELLE FORMULATION ETAIT MEILLEURE. DANS LA DEUXIEME PARTIE, NOUS NOUS SOMMES INTERESSES A DES MODELES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES, COMME LES EQUATIONS D'EULER. NOUS AVONS CHERCHE A CONSTRUIRE DES LIMITEURS D'ORDRE ELEVE AFIN DE RENDRE NOS SCHEMAS POSITIFS. EN PARTICULIER, NOUS AVONS PRESENTE UN NOUVEAU LIMITEUR D'ORDRE TROIS, QUI S'EST AVERE STABLE ET ROBUSTE, POUR DES CALCULS DE TUBE A CHOC ET D'ECOULEMENTS TRANSSONIQUES STATIONNAIRES. NOUS AVONS FINALEMENT CONSIDERE UN MODELE EULERIEN D'ECOULEMENT DIPHASIQUE, HYPERBOLIQUE ET CONSERVATIF, COMPORTANT UN TERME SOURCE RAIDE. LA METHODE CLASSIQUE D'INTEGRATION EN TEMPS EST UNE METHODE DE PAS FRACTIONNAIRES ; TOUTEFOIS, ELLE COMPORTE PLUSIEURS FAIBLESSES, ET NOUS AVONS PROPOSE UNE METHODE COUPLEE, QUI S'AVERE PLUS PRECISE LORSQUE LE RAYON DES PARTICULES DEVIENT PETIT.

On s'intéresse à l'étude de schémas volumes finis pour des équations elliptiques et hyperboliques sur des domaines bornes. L'originalité de ce travail réside dans les traitements des conditions aux limites et du couplage elliptique hyperbolique. Les chapitres 2 et 3 sont consacrés à des schémas volumes finis pour une équation elliptique avec condition aux limites de Neumann et une équation hyperbolique linéaire. On établit des estimations d'erreur pour l'équation elliptique en norme h#1 discrète ainsi que l#q pour 1 q +, en montrant des injections discrètes de Sobolev. On montre la convergence de la solution approchée associée à l'équation hyperbolique vers la solution faible de cette dernière en passant à la limite dans l'équation discrétisée. Le chapitre 4 traite d'un schéma volumes finis pour une équation elliptique avec conditions de Fourier. On montre la convergence du schéma en établissant des estimations d'erreur similaires à celles établies dans les chapitres précédents, la différence essentielle provient des termes de bord. Le chapitre 5 traite de la convergence d'un schéma volumes finis pour un système elliptique hyperbolique non linéaire. En utilisant les résultats du chapitre 2 sur l'équation elliptique, on montre la convergence de la solution approchée associée à l'équation hyperbolique vers la solution entropique. De plus, on établit des estimations d'erreur en norme l#1. Pour cela, on utilise la notion de solution processus entropique (ou mesures de Young) ainsi qu'une technique introduite par S.N. Kruskov. Dans le chapitre 6, on montre la convergence de schémas volumes finis à flux monotone pour une équation hyperbolique non linéaire. Pour établir ce résultat, on utilise une notion de trace pour les fonctions l# utile pour passer à la limite dans le schéma numérique.

L'OBJET DE CE TRAVAIL EST L'ETUDE THEORIQUE DE SCHEMAS VOLUMES FINIS POUR CERTAINS PROBLEMES HYPERBOLIQUES. DANS LES TROIS PREMIERS CHAPITRES, NOUS NOUS INTERESSONS A UNE EQUATION HYPERBOLIQUE NON LINEAIRE ET, DANS LE DERNIER CHAPITRE, NOUS ETUDIONS LE CAS D'UN SYSTEME HYPERBOLIQUE LINEAIRE AVEC CONDITIONS AUX LIMITES. DANS TOUS LES CAS, NOUS CHERCHONS A ETABLIR LA CONVERGENCE DES SCHEMAS CONSIDERES ET A EVALUER LEUR PRECISION EN DEMONTRANT DES ESTIMATIONS D'ERREUR. POUR LE PROBLEME HYPERBOLIQUE SCALAIRE, NOUS DEVELOPPONS TOUT D'ABORD DES SCHEMAS D'ORDRE UN EN ESPACE. NOUS DEMONTRONS L'EXISTENCE ET L'UNICITE DE LA SOLUTION ENTROPIQUE TOUT EN ETABLISSANT LA CONVERGENCE DES SCHEMAS VERS CELLE-CI. NOUS OBTENONS EGALEMENT DES ESTIMATIONS D'ERREUR (EN NORME L 1 ESPACE-TEMPS) ENTRE SOLUTION APPROCHEE ET SOLUTION ENTROPIQUE DE L'ORDRE DE H 1 / 4 (H EST LA TAILLE DU MAILLAGE). ENSUITE, NOUS ETENDONS CES RESULTATS A DES SCHEMAS D'ORDRE DEUX EN ESPACE DE TYPE MUSCL. ENFIN, DANS UNE DERNIERE PARTIE, NOUS NOUS INTERESSONS A UN SYSTEME CONSTITUE DE DEUX EQUATIONS LINEAIRES COUPLEES PAR LES CONDITIONS AUX LIMITES. NOUS PROUVONS L'EXISTENCE ET L'UNICITE DE LA SOLUTION FAIBLE PUIS LA CONVERGENCE DE SCHEMAS VERS CETTE SOLUTION. NOUS PRESENTONS ENSUITE DES TESTS NUMERIQUES QUI MONTRENT UNE ESTIMATION D'ERREUR DE L'ORDRE DE H 1 / 2.

LE TRAVAIL PRESENTE DANS CETTE THESE PORTE SUR L'ETUDE THEORIQUE DE LA CONVERGENCE DE SCHEMAS NUMERIQUES UTILISES POUR LA RESOLUTION D'EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES ET NON LINEAIRES. LES METHODES D'APPROXIMATION SONT DE TYPE VOLUMES FINIS SUR DES MAILLAGES IRREGULIERS EN ESPACE. ON CONSIDERE DES SCHEMAS DECENTRES AMONT ET DE TYPE VAN LEER (QUASI D'ORDRE 1 EN ESPACE). POUR CHAQUE SCHEMA, ON ETABLIT UNE ESTIMATION EN NORME INFINIE SUR LA SOLUTION APPROCHEE. DANS LE CAS DE RECTANGLES, LE SCHEMA EST A VARIATION TOTALE DECROISSANTE ET A L'AIDE DE THEOREMES DE COMPACITE, ON MONTRE LA CONVERGENCE DE LA SOLUTION APPROCHEE VERS LA SOLUTION FAIBLE (ENTROPIQUE) DU PROBLEME DANS L'ESPACE DES FONCTIONS LOCALEMENT INTEGRABLES. CETTE PROPRIETE SUR LE SCHEMA N'EST PLUS VERIFIEE DANS LE CAS DE TRIANGLES. IL EST CEPENDANT POSSIBLE D'OBTENIR UNE ESTIMATION FAIBLE SUR UNE VARIATION TOTALE PONDEREE, SUFFISANTE POUR OBTENIR LA CONVERGENCE DANS LE CAS LINEAIRE. DANS LE CAS NON LINEAIRE, ON UTILISE LA THEORIE DES SOLUTIONS MESURES INTRODUITES PAR DI PERNA. ON DEMONTRE UN THEOREME GENERAL SUR LES SOLUTIONS MESURES QUI PERMET D'ETABLIR LA CONVERGENCE DE LA SOLUTION APPROCHEE DANS L'ESPACE DES FONCTIONS DE PUISSANCE PIEME LOCALEMENT INTEGRABLE, POUR TOUT P SUPERIEUR OU EGAL A 1, VERS LA SOLUTION FAIBLE ENTROPIQUE

Cette thèse est consacrée a l'étude numérique de systèmes de lois de conservation bidimensionnelles modélisant des écoulements instationnaires à fronts raides. La démarche adoptée ici est celle des volumes finis cell-centered, sur maillages non structures. Deux modèles sont considérés : l'inflammation d'une goutte, et l'écoulement de l'eau peu profonde couple au transport-diffusion du polluant. Concernant le premier modèle, la raideur spatiale et temporelle du phénomène est prise en compte par l'utilisation d'un procède de raffinement-déraffinement dynamique du maillage. La partie visqueuse des équations est discrétisée à l'aide d'une reconstruction du type green-gauss basée sur la cellule diamant et une interpolation aux moindres carres. Cette technique s'est révélée très efficace lorsque des maillages adaptatifs sont utilisés. Enfin, en considérant une loi de conservation scalaire bidimensionnelle, nous montrons que, sous une condition du type cfl qui est raisonnable, le schéma d'ordre deux utilisé pour la partie convective satisfait le principe du maximum. Nous mettons en évidence ici la propagation d'une flamme triple au cours du processus d'allumage d'une goutte, quand la réaction chimique est suffisamment rapide par rapport au processus de diffusion moléculaire et de diffusion de la température. Pour l'écoulement de l'eau peu profonde, nous avons adopté un schéma semi-implicite linéarisé pour le calcul des termes de frottement et une extension du schéma de Bermudez pour les termes de pente. Enfin, dans le cas ou le système de Saint-venant est couplé à l'équation de transport d'une substance polluante, nous avons utilisé le schéma vf4 pour la discrétisation de la partie diffusive sur des maillages non structurés triangulaires. Plusieurs tests numériques et comparaisons avec des résultats expérimentaux, en une et deux dimensions d'espace, sont réalisés.

LES METHODES DE VOLUMES FINIS PRESENTENT DES QUALITES CONSIDERABLES QUI LES FONT SOUVENT EMPLOYER POUR DES PROBLEMES INDUSTRIELS DANS LESQUELS DE NOMBREUX PHENOMENES PHYSIQUES SONT COUPLES, SUR DES MAILLAGES QUI NE PEUVENT PAS TOUJOURS FAIRE L'OBJET DE METHODES D'ELEMENTS FINIS. CE TRAVAIL PORTE SUR L'ETUDE DE LA CONVERGENCE DES METHODES DE VOLUMES FINIS POUR DES PROBLEMES DE DIFFUSION-CONVECTION NON LINEAIRES, TELS QUE LE PROBLEME DE STEFAN OU L'EQUATION DES MILIEUX POREUX EN PRESENCE D'UN TERME DE CONVECTION FORCE EVENTUELLEMENT EGALEMENT NON LINEAIRE. UNE PREMIERE PARTIE DEMONTRE LA CONVERGENCE DES METHODES DE VOLUMES FINIS POUR UN PROBLEME DE TYPE STEFAN SANS TERME CONVECTIF. LES ESTIMATIONS OBTENUES PERMETTENT DE CONCLURE A UNE CONVERGENCE FORTE DE LA TEMPERATURE ET FAIBLE DE L'ENERGIE, CE QUI EST CONFORME AUX RESULTATS OBTENUS PAR D'AUTRES APPROCHES NUMERIQUES. ELLES PERMETTENT D'APPLIQUER LE THEOREME DE KOLMOGOROV, QUI DONNE UNE PROPRIETE DE CONVERGENCE FORTE AU MOYEN DE L'ESTIMATION DES TRANSLATIONS EN TEMPS ET EN ESPACE SUR LES SOLUTIONS APPROCHEES. L'ESTIMATION DES TRANSLATIONS EN ESPACE PERMET DE CONCLURE A LA REGULARITE DE LA LIMITE. UNE SECONDE PARTIE DEMONTRE LA CONVERGENCE DES METHODES DE VOLUMES FINIS POUR UN PROBLEME MIXTE DE DIFFUSION NON LINEAIRE ET DE CONVECTION NON LINEAIRE. LORSQUE LA DEGENERESCENCE DU TERME DE DIFFUSION EST SEULEMENT PONCTUELLE, LA CONVERGENCE DU SCHEMA EST ALORS FORTE EN TOUT POINT ; CECI RESULTE D'UN COUPLAGE ENTRE LES METHODES EXPLICITEES EN PREMIERE PARTIE ET DES METHODES MAINTENANT CLASSIQUES EMPLOYEES POUR LA CONVERGENCE DES SCHEMAS DE VOLUMES FINIS POUR UNE EQUATION HYPERBOLIQUE NON LINEAIRE. DANS LE CAS D'UNE DEGENERESCENCE DU TERME DE DIFFUSION SUR UN INTERVALLE, LE RESULTAT DE CONVERGENCE EST AFFAIBLI, ET NECESSITE L'INTRODUCTION DE SOLUTIONS DANS UN SENS PLUS FAIBLE, COMME IL EST COURAMMENT FAIT POUR LES PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES. CEPENDANT, A LA DIFFERENCE DE CE DERNIER CADRE, IL N'Y A PAS DE RESULTAT D'UNICITE POUR CONCLURE A UNE CONVERGENCE FORTE DU SCHEMA. PAR AILLEURS, ON RETROUVE DANS CE CAS LA NECESSITE D'INTRODUIRE UN SENS ENTROPIQUE AUX SOLUTIONS FAIBLES DU PROBLEME ; LE SCHEMA DE VOLUMES FINIS EST ALORS DEMONTRE COMME SATISFAISANT UNE PROPRIETE DISCRETE ANALOGUE A LA PROPRIETE CONTINUE