Le but du livre est de donner aux enseignants et aux étudiants (à partir de Bac+4) en mathématiques appliquées et en mécanique des fluides un outil d'enseignement et d'apprentissage illustré par cinquante problèmes accompagnés de leur correction détaillée. Il présente une nouvelle méthode d'analyse asymptotique pour des problèmes de "couche limite". Celle-ci est appelée MASC "Méthode des Approximations Successives Complémentaires".

This book presents a new method of asymptotic analysis of boundary-layer problems, the Successive Complementary Expansion Method (SCEM). The first part is devoted to a general presentation of the tools of asymptotic analysis. It gives the keys to understand a boundary-layer problem and explains the methods to construct an approximation. The second part is devoted to SCEM and its applications in fluid mechanics, including external and internal flows.

ON ETUDIE LA STRUCTURE DES ECOULEMENTS DE COUCHE LIMITE SUR DES OBSTACLES BI OU TRIDIMENSIONNELS. DANS UNE PREMIERE PARTIE, CETTE ETUDE REPOSE SUR L'ANALYSE ASYMPTOTIQUE SYSTEMATIQUE DES EQUATIONS POUR DES PERTURBATIONS VOISINES DE LA PERTURBATION CARACTERISANT LA TRIPLE COUCHE DE STEWARTSON. CETTE ANALYSE PERMET DE FAIRE CORRESPONDRE UN SYSTEME D'EQUATIONS A UNE TAILLE ASYMPTOTIQUE DE PERTURBATION. A PARTIR DE CETTE ANALYSE, ON DEVELOPPE UNE METHODE DE CALCUL DES COUCHES LIMITES TRIDIMENSIONNELLES AVEC COUPLAGE FORT POUR DES GRANDS NOMBRES DE REYNOLDS. CETTE METHODE EST UNE EXTENSION DE LA METHODE BIDIMENSIONNELLE SIMULTANEE DE VELDMAN. AVEC CETTE METHODE, ON EVITE LES PROBLEMES NUMERIQUES LIES AUX RESOLUTIONS CLASSIQUES DE LA COUCHE LIMITE, LA SINGULARITE DU MODE DIRECT, LES OSCILLATIONS ET LA SOUS-RELAXATION DU MODE INVERSE. LE CODE DE CALCUL A ETE VALIDE SUR DIFFERENTS OBSTACLES BIDIMENSIONNELS PUIS TRIDIMENSIONNELS. CETTE VALIDATION EST OBTENUE PAR COMPARAISON AVEC D'AUTRES METHODES DE COUCHE LIMITE OU DES SOLUTIONS DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES. L'AVANTAGE INDENIABLE DE LA METHODE REPOSE SUR SA RAPIDITE EN COMPARAISON AVEC LES CALCULS NAVIER-STOKES ET SA TRES GRANDE STABILITE EN COMPARAISON AVEC LES METHODES CLASSIQUES DE COUCHE LIMITE

L'ETUDE DES STRUCTURES FORMEES DE BARRES COMPOSITES EST COMPLIQUEE A CAUSE DES OSCILLATIONS DES COEFFICIENTS. L'OBJECTIF EST DE DONNER LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DE CES STRUCTURES LORSQUE LES PETITS PARAMETRES LES CARACTERISANT TENDENT VES ZERO. DANS LA PREMIERE PARTIE, LES BARRES CONSIDEREES SONT NON SYMETRIQUES, LEUR ETUDE EST PLUS DIFFICILE. NOUS CONSTRUISONS UN DEVELOPPEMENT DE LA SOLUTION ET NOUS OBTENONS DES EQUATIONS HOMOGENEISEES UNIDIMENSIONNELLES DONT ON MONTRE LA POSITIVITE ET ON CALCULE NUMERIQUEMENT LES COEFFICIENTS. DES ESTIMATIONS D'ERREUR PERMETTENT LA JUSTIFICATION DE L'ASPECT ASYMPTOTIQUE DE L'APPROXIMATION. LA DEUXIEME PARTIE EST CONSACREE AU PROBLEME DE JONCTIONS DE BARRES DONT LES COEFFICIENTS NE SONT PAS DE LA MEME GRANDEUR. UN AUTRE PARAMETRE INTERVIENT DANS L'ETUDE ASYMPTOTIQUE. NOUS CONSTRUISONS UN DEVELOPPEMENT A L'INTERIEUR ET DES COUCHES LIMITES POUR CORRIGER LES CONDITIONS AUX BORDS.

Dans cette thèse, nous étudions le comportement asymptotique de certaines équations aux dérivées partielles elliptiques quasilineaires. nous nous intéressons plus précisément a l'analyse asymptotique de structures quasistratifiees (ou multistratifiees) et de multidomaines minces, des problèmes contenant un petit paramètre lie a l'homogénéisation ou bien aux couches limites. nous décrivons le comportement de la solution de l'équation aux dérivées partielles lorsque tend vers zéro. dans la première partie, après des rappels sur les théories de la h-convergence et de la -convergence, nous traitons l'homogénéisation de problèmes multistratifies, une extension naturelle de l'homogénéisation des matériaux stratifies, lorsque les coefficients de l'équation ont des dépendances particulières par rapport aux coordonnées. la seconde partie traite par -convergence un problème général de Neumann quasilineaire avec deux exposants de sobrement éventuellement différents, pose dans un multi domaine mince et variable de r n (n 2), compose d'une tige fine 1 et d'une plaque mince 2 ( tend vers zéro). les coefficients de l'équation, qui sont lies au matériau composite constituant la tige et la plaque, sont fonction de la position (x) et aussi de . d'une part, nous considérons une tige de conductivité constante et une plaque de forte conductivité. sous des hypothèses convenables, nous montrons alors que la solution, une fois renormalisee, converge faiblement dans un espace de sobolev vers la solution d'un problème découple. d'autre part, en partant de l'étude asymptotique faite par gaudiello, gustafsson, lefter et mossino pour le problème de Neumann sans forte ni faible conductivités, nous étendons leur démonstration dans plusieurs directions : la tige et la plaque sont de formes plus générales et l'on y considère des pondérations et des exposants de sobolev différents. nous observons le même phénomène de réduction de dimension et le problème limite est couple ou découple, suivant les valeurs de la dimension n et de l'exposant de sobolev dans la plaque.