DANS LA PREMIERE PARTIE DE CETTE THESE ON ETUDIE LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES TRAJECTOIRES DE SYSTEMES DYNAMIQUES DISSIPATIFS ASSOCIES A L'ETUDE DE PROBLEMES D'OPTIMISATION CONVEXES EN DIMENSION FINIE ET INFINIE. ON CONSIDERE TOUT D'ABORD LA METHODE DE NEWTON CONTINUE POUR LAQUELLE ON MONTRE, SOUS DES HYPOTHESES DE FORTE CONVEXITE, QUE LES TRAJECTOIRES CONVERGENT VERS L'UNIQUE MINIMUM. ON CONSTRUIT UN NOUVEAU SYSTEME COUPLANT LA METHODE DE NEWTON AVEC DES SCHEMAS D'APPROXIMATION, CE QUI PERMET DE SELECTIONNER DES SOLUTIONS PARTICULIERES DANS LE CAS DE PROBLEMES D'OPTIMISATION MAL POSES EN UNICITE. ON ETUDIE D'AUTRE PART LE SYSTEME DE LA BOULE PESANTE AVEC FROTTEMENT, UN SYSTEME OSCILLANT AMORTI, DONT ON MONTRE LA CONVERGENCE FAIBLE DES TRAJECTOIRES VERS DES OPTIMA. DES VERSIONS DISCRETES DES SYSTEMES DYNAMIQUES PRECEDENTS SONT ETUDIES POUR LESQUELS ON OBTIENT DES RESULTATS DE CONVERGENCE SIMILAIRES. DANS LA DEUXIEME PARTIE, ON CONSIDERE DES METHODES D'APPROXIMATION POUR CERTAINES CLASSES DE PROBLEMES VARIATIONNELS. EN DIMENSION FINIE, ON ETUDIE LA METHODE DE PENALISATION EXPONENTIELLE EN PROGRAMMATION MATHEMATIQUE CONVEXE, ET L'ON MONTRE QUE CETTE METHODE SELECTIONNE A LA LIMITE UNE SOLUTION PARTICULIERE QUE L'ON CARACTERISE PAR UN SCHEMA HIERARCHIQUE DE PROBLEMES MIN-MAX. EN DIMENSION INFINIE, ON ETUDIE L'APPROXIMATION L#P DU PROBLEME DE L'EXTENSION LIPSCHITZIENNE MINIMALE, DANS LE CAS NON HOMOGENE. ON OBTIENT UN RESULTAT DE SELECTION, UTILISANT LA NOTION DE SOLUTION DE VISCOSITE POUR UNE EQUATION ELLIPTIQUE DEGENEREE. ENFIN, ON ETUDIE L'HOMOGENEISATION DE PROBLEMES D'ELASTICITE NON LINEAIRE PAR DES METHODES DIRECTES DE -CONVERGENCE.

LE SUJET DE LA THESE SE SITUE DANS LE CADRE DE L'ETUDE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES ET DES SYSTEMES DYNAMIQUES NON LINEAIRES. LA THESE PRESENTE UNE ETUDE DES ATTRACTEURS DES SYSTEMES DYNAMIQUES DISSIPATIFS. EN PARTICULIER, L'ATTRACTEUR CHAOTIQUE DE LORENZ ET LES CYCLES LIMITES DES SYSTEMES DE LIENARD. LA PREMIERE PARTIE EST DEDIEE AU SYSTEME DE LORENZ. CE SYSTEME EST OBTENU PAR SIMPLIFICATION DES EQUATIONS DE BOUSSINESQ FORMULEES DANS LE CADRE DE LA CONVECTION DE RAYLEIGH-BENARD. LE SYSTEME DE LORENZ EST IMPORTANT CAR IL EST LE PREMIER A AVOIR EXHIBE UN COMPORTEMENT CHAOTIQUE. ON UTILISE DES SECTIONS TRANSVERSES (COURBES OU SURFACES QUI NE SONT TRAVERSEES PAR LE FLOT QUE DANS UN SEUL SENS SUR TOUTE LEUR ETENDUE) POUR ACQUERIR DE L'INFORMATION SUR L'ATTRACTEUR CHAOTIQUE DU SYSTEME. POUR CELA, ON UTILISE LES FORME ALGEBRIQUES DES INTEGRALES DU MOUVEMENT POUR TROUVER DES EQUATIONS DE SECTIONS TRANSVERSES. L'EXISTENCE DES CES SECTIONS TRANSVERSES POUR DES PLAGES DE VALEURS DES PARAMETRES NOUS PERMET DE DONNER DES LIMITES ALGEBRIQUES A L'ATTRACTEUR CHAOTIQUE DU SYSTEME QUAND CELUI-CI EXISTE MAIS AUSSI DE DONNER DES PLAGES DE VALEURS DES PARAMETRES POUR LESQUELLES IL N'Y A PAS DE COMPORTEMENT CHAOTIQUE POSSIBLE. LA DEUXIEME PARTIE PRESENTE UN ALGORITHME SIMPLE QUI DONNE ACCES AU NOMBRE DE CYCLES LIMITES DES SYSTEMES DE LIENARD. EN PLUS DU NOMBRE, ON OBTIENT UNE APPROXIMATION ALGEBRIQUE DE L'EQUATION AINSI QUE LA MULTIPLICITE DE CHACUN DE CES CYCLES. LE GRAND INTERET DE CET ALGORITHME EST QU'IL NE REPOSE PAS SUR L'EXISTENCE D'UN PETIT PARAMETRE (L'ALGORITHME N'EST PAS PERTURBATIF) ET QU'IL CHANGE LE PROBLEME INITIAL DE RESOUDRE UNE EQUATION DIFFERENTIELLE NON-LINEAIRE EN UN PROBLEME ALGEBRIQUE DE COMPTER LES RACINES D'UN POLYNOME A UNE VARIABLE. ON OBTIENT AUSSI GRACE A CET ALGORITHME DES APPROXIMATIONS ALGEBRIQUES DES COURBES DE BIFURCATION (DE HOPF, SADDLE-NODE, HETEROCLINE) DES SYSTEMES DE LIENARD.