L’objectif principal de ce travail est le développement d’un modèle numérique qui permet de simuler le transport de masse dans les milieux poreux homogènes et hétérogènes. Cet outil numérique sera à terme un moyen de prédiction de la progression d’une pollution dans un sol et d’évaluation des risques de contamination des nappes phréatiques. Le modèle est basé sur l’équation de convection-dispersion avec une cinétique de dépôt/relargage de premier ordre. La résolution de cette équation en 1D et 2D est basée sur une méthode Lagrangienne, appelée méthode particulaire, qui utilise la technique de vitesse de dispersion. Les conditions aux limites (entrée du domaine) sont traitées avec une technique de particules images. La variation de porosité dans le milieu poreux due à la rétention et au détachement des particules est évaluée à partir de la relation de Kozeny-Carman. L’étude de sensibilité du modèle, effectuée dans différentes configurations lorsque les solutions analytiques sont fournies, montre une précision suffisante pour un choix adéquat de paramètres numériques. La validation du code de calcul est obtenue par l’ajustement d’essais de traçage en colonnes de laboratoire dans des conditions d’écoulement à débit constant ou à charge constante. Dans ce dernier cas, un couplage entre l’équation de transport et celle de l’écoulement (Equation de Darcy) est réalisé. La résolution de l’équation de l’écoulement est effectuée à l’aide d’un schéma numérique en différences finies sur une grille fixe. L’équation de transport est d’abord résolue pour calculer la concentration sur les particules, puis à l’aide d’un schéma séquentiel non itératif, on résout l’équation de l’écoulement pour évaluer la charge hydraulique et la vitesse sur les nœuds de la grille. Les échanges entre la grille et les particules sont assurés au moyen de fonctions d’interpolation. La simulation d’essais en injection instantanée ou continue a montré un bon ajustement entre les courbes de restitution calculées et mesurées, et notamment les essais où le dépôt et le relargage agissent simultanément. Les profils de porosité obtenus le long de la colonne, montrent une diminution de la porosité à l’entrée de la colonne, et qui est plus marquée dans le cas d’un écoulement à charge constante. Le modèle numérique est adapté à la simulation de l’érosion (suffusion) d’un sol en considérant uniquement le relargage, et l’ajustement d’essais d’érosion totale au laboratoire a montré un bon accord. Afin de simuler le transport de soluté dissous dans deux milieux homogène et hétérogène supposé infinis, la cinétique de dépôt/relargage est remplacée par un partage non linéaire de Freundlich. Pour tenir compte des hétérogénéités du champ de perméabilité aléatoire qui engendre des vitesses d’écoulement préférentielles, plusieurs simulations dite monte Carlo sont réalisées et montrent que la vitesse de dispersion offre une alternative intéressante (convergence plus rapide). Les résultats obtenus sont en accord avec les résultats de la littérature. Cette étude numérique a permis la mise en œuvre de la méthode particulaire pour simuler le transport, dépôt et relargage dans un milieu poreux fini. Néanmoins, le modèle de dépôt /relargage de premier ordre adopté peut être amélioré afin de prendre en compte le couplage entre les deux processus et notamment le seuil de détachement des particules.

L’objectif principal de ce travail est de développer des outils numériques efficaces et fiables pour la modélisation de l’écoulement et du transport de masse en milieux poreux saturé. Dans une première partie, nous avons développé une technique pour améliorer la méthode EFMH sur les quadrangles. Cette technique a permis d’éliminer les oscillations rencontrées en utilisant la méthode EFMH standard pour des solutions à front raide et de gagner en précision et en temps de calcul. Dans la deuxième partie de la thèse un nouveau modèle numérique pour résoudre le systèmes d’équations couplées écoulement–transport a été développé. Ce modèle couple des discrétisations spatiale et temporelle efficaces en utilisant la méthode des lignes. Pour la discrétisation spatiale, nous avons combiné la méthode EFMHc pour l’écoulement, la méthode MPFA pour le terme dispersif et la méthode DG pour le terme convectif de l’équation de transport. Pour la discrétisation temporelle du système EDO résultant, deux solvers basés sur le schéma à ordre et pas de temps adaptatifs, BDF, sont employés. DLSODIS (resp, DASPK), utilise une méthode directe (resp, méthode itérative) pour résoudre les systèmes linéaires surgissant à chaque itération de Newton. Dans un premier temps, deux cas tests numériques standards aussi bien qu’une expérience à l’échelle du laboratoire sont simulés pour mettre en relief l’efficacité et la robustesse du modèle basé sur DLSODIS. Dans un second temps, le solver DASPK a été utilisé pour traiter les systèmes de grande échelle. Le nouveau modèle permet de contrôler l’erreur temporelle et de réduire plus que 30 fois le temps de calcul par rapport au modèle standard.

L'objectif de la thèse est la résolution des problèmes de transport dans les milieux poreux à l'aide des méthodes particulaires. Deux problèmes sont résolus avec les méthodes particulaires : la migration d'un soluté dans une nappe phréatique et l'écoulement de l'eau dans un milieu poreux à l'échelle des pores. Pour résoudre l'équation de convection-dispersion dans le cas général d'une dispersion anisotrope, un algorithme basé sur les méthodes particulaires et la méthode de vitesse de dispersion est présenté. Pour simuler l'écoulement dans un milieu poreux à des faibles nombres de Reynolds, un algorithme basé sur une méthode particulaire anisotrope et une méthode intégrale de frontière est présenté. La méthode particulaire anisotrope permet d'améliorer la description de la couche limite se formant autour des grains du sol. La méthode intégrale de frontière permet de satisfaire la condition d'adhérence en écrivant une équation intégrale de frontière sur le contour des grains du sol

Les sols et les sous-sols urbains peuvent être contaminés par des polluants divers. En effet, leur mobilité est régie par différents processus physico-chimiques de transport et de rétention/libération (la rétention tend à freiner la propagation des particules tandis que la libération accélère le transport des particules). Ainsi, il est nécessaire de comprendre les mécanismes du transport des polluants dans des sols et de prédire cette migration à long terme. Tout d’abord, nous détaillerons un modèle de transport et d’écoulement en milieu poreux saturé, qui est basé sur les EDPs. De plus, ces équations se réfèrent au transport de masse en milieu poreux saturé qui est régi en général par la classique équation de type convection-dispersion-diffusion. En bref, les équations de l'écoulement et du transport avec des effets de viscosité et la densité sont mises en œuvre dans les codes de différences et éléments finis en utilisant la Librairie d’éléments finis Diffpack. Ensuite, nous proposons de coupler le modèle de transport avec l’érosion interne. Pour atteindre ce but, nous avons proposé un modèle mathématique de l’érosion interne et nous l’avons validé par des tests expérimentaux. De même, nous avons montré que l’érosion influe directement sur le transport des particules. Ceci nous a amené à définir un couplage entre le transport, l’érosion et le transfert de polluants. En outre, le modèle développé est basé sur le transport réactif qui tente de simuler les processus d’écoulement-transport, les réactions physico-chimiques. Enfin, nous avons introduit le comportement des milieux déformables dans le modèle pour ainsi étudier le rôle de la déformation du sol dans le transport.

LA PREMIERE PARTIE DE CE TRAVAIL CONCERNE LA RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES QUI REGISSENT LE TRANSFERT DE MASSE EN MILIEU POREUX. POUR LA RESOLUTION DE L'EQUATION DE L'ECOULEMENT EN MILIEU HETEROGENE, UNE NOUVELLE FORMULATION POUR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS MIXTES AVEC MOINS D'INCONNUES ET SANS AUCUNE APPROXIMATION EST ETABLIE POUR UNE TRIANGULATION QUELCONQUE. DANS LE BUT DE LIMITER LA DISPERSION NUMERIQUE, LA METHODE DES ELEMENTS FINIS DISCONTINUS EST DEVELOPPEE POUR RESOUDRE LA PARTIE CONVECTION DE L'EQUATION DE TRANSPORT. LA SECONDE PARTIE DE CE TRAVAIL EST CONSACREE A L'ETUDE DES PROBLEMES D'ECOULEMENT ET DE TRANSPORT AVEC PRISE EN COMPTE DU CONTRASTE DE MASSE VOLUMIQUE ET/OU DE VISCOSITE. DANS CE BUT, UN MODELE NUMERIQUE FONDE SUR LES METHODES DES ELEMENTS FINIS MIXTES ET DISCONTINUS A ETE DEVELOPPE. UNE PREMIERE VERIFICATION DU MODELE EST REALISEE EN SIMULANT LE PROBLEME D'HENRY POUR LEQUEL UNE SOLUTION SEMI-ANALYTIQUE EXISTE. D'AUTRES SIMULATIONS DE CAS THEORIQUES LARGEMENT EXPLOITES DANS LA LITTERATURE (ELDER, DOME DE SEL) SONT EFFECTUEES ET PERMETTENT UNE BONNE ANALYSE DES PERFORMANCES DES SCHEMAS NUMERIQUES UTILISES. LA DERNIERE PARTIE DE CE TRAVAIL EST CONSACREE A LA SIMULATION D'EXPERIENCES DE TRANSFERT DE SOLUTES AVEC CONTRASTE DE MASSE VOLUMIQUE ET/OU DE VISCOSITE A L'ECHELLE DU LABORATOIRE EN DEUX ET TROIS DIMENSIONS.

La représentation des écoulements et du transport de masse en milieu poreux trouve des applications diverses en hydrogéologie dont notamment l'étude de la propagation des polluants dans les sols ou encore l'étude des transferts d'eau salée dans les nappes phréatiques côtières. Ce manuscrit de thèse propose donc d'étudier ces phénomènes physiques à travers la modélisation numérique. Plusieurs ensembles de méthodes d'éléments finis sont présentées et discutées. L'accent est essentiellement mis sur la représentation mathématique des milieux fortement hétérogènes et anisotropes. Deux nouvelles méthodes de résolution numérique sont ainsi introduites, à savoir les méthodes H-RTm et H-RTp. Ces méthodes sont toutes deux issues de la technique d'hybridation appliquée aux éléments finis mixtes et aux éléments finis discontinus de Galerkin. Les bénéfices qu'elles apportent dans la représentation des phénomènes d'écoulement et de transport de masse en milieu poreux sont alors illustrés à travers des exemples numériques retrouvés dans la littérature.