Etude de différents problèmes liés à l'analyse mathématique et numérique de phénomènes de propagation d'ondes linéaires. Simulation numérique de la propagation d'ondes acoustiques ou élastiques en milieu borné. Construction et analyse d'approximations paraxiales de l'équation des ondes en milieu hétérogène. Electromagnétisme et équations de Maxwell. Existence d'ondes élastiques guidées par l'extérieur d'une cavité cylindrique de section arbitraire.

Le sujet de cette thèse concerne la modélisation numérique des phénomènes de propagation des ondes dans des milieux élastiques. La compréhension et la modélisation de ces phénomènes jouent un rôle fondamental dans de nombreux domaines d'applications tels que la géophysique, la sismique, le contrôle non destructif, etc. Nous avons développé une méthode numérique traitant ces problèmes dans des milieux complexes (grande taille, géométries complexes, milieux tridimensionnels hétérogènes et anisotropes). Les principales caractéristiques de cette méthode sont: _ l'utilisation des maillages réguliers en carres (2d) ou cubes (3d), ce qui facilite l'implémentation et favorise la vitesse du calcul. _ la condensation de masse qui nous permet d'obtenir des schémas explicites en temps. La prise en compte des géométries complexes (fissures, surfaces libres) s'effectue alors grâce à la méthode des domaines fictifs (une méthode de multiplicateurs de Lagrange). L'utilisation de cette méthode nous a conduit à choisir une formulation mixte, en vitesses-contraintes, pour l'élastodynamique. Pour obtenir alors, une méthode compatible avec la condensation de masse, nous avons construit une nouvelle famille d'éléments finis mixtes. L'analyse de convergence de ces nouveaux éléments constitue une partie importante de la thèse, la difficulté provenant du fait qu'ils n'entrent pas dans le cadre de la théorie classique. Nous avons également étudié les schémas obtenus avec ces éléments en termes d'une analyse de dispersion et de stabilité. Ceci nous a permis de comparer la nouvelle méthode à des méthodes plus classiques. Enfin, nous avons étudié le problème délicat de la modélisation des ondes élastiques en milieux non bornes. A ce sujet, nous avons d'abord propose de nouvelles conditions aux limites absorbantes (CLA) puis nous avons adapté au cas élastique la méthode des couches absorbantes parfaitement adaptées (PML), introduite originalement en électromagnétisme.

Ce travail est consacré à l’étude de problèmes de transmission d’ondes électromagnétiques dans des matériaux à fort contraste, comme par exemple un corps fortement conducteur entouré d’un matériau diélectrique isolant. On analyse finement le phénomène de l’effet de peau à l’aide de l’analyse asymptotique et de la simulation numérique. On calcule un développement asymptotique multi-échelle à grande conductivité des solutions des équations de Maxwell tridimensionnelles en régime harmonique. Pour valider ce développement, on établi des estimations uniformes des solutions de ces équations pour une conductivité assez grande dans des domaines polyédraux Lipschitziens. Ces estimations ont motivé une étude préliminaire d’un problème de transmission scalaire pour lequel des estimations a priori sont démontrées grˆace à la convergence normale d’un développement asymptotique. L’accord des formules théoriques avec les calculs numériques est remarquable. D’autre part, on présente des conditions de transmission approchées pour un problème de membrane mince séparant deux milieux différents. On étudie le comportement du champ électromagnétique dans une cellule biologique modélisée par un milieu entouré d’une couche mince et plongée dans un milieu ambiant. On calcule des conditions de transmission approchées sur le bord du domaine intérieur équivalentes à la couche mince.

La propagation des ondes élastiques est un phénomène physique complexe dont la modélisation dans les milieux hétérogènes nécessite l’utilisation de solveurs numériques adaptés. Lorsque la longueur d’onde minimale du champ d’onde est grande devant les variations des propriétés élastiques du milieu de propagation, le coût calcul devient disproportionné. Dans ce cadre, la méthode d’homogénéisation permet de simplifier le milieu de propagation tout en contrôlant l’erreur commise sur les solutions calculées par le solveur. De plus, cette méthode permet de mieux comprendre physiquement l’effet des petites hétérogénéités sur les champs d’onde. L’objectif de cette thèse est de développer des extensions de la méthode d’homogénéisation visant à améliorer tant l’efficacité du calcul numérique que notre compréhension de la propagation des ondes en milieux complexes. Au premier chapitre nous rappelons les principes de la méthode des éléments spectraux, servant ici de solveur numérique pour l’équation des ondes, ainsi que ceux de la méthode d’homogénéisation déterministe pour les milieux non périodiques. Dans le second chapitre, nous développons l’homogénéisation pour les milieux purement acoustiques que nous utilisons ensuite pour interpréter les différences entre la propagation des ondes P élastiques et celle des ondes acoustiques. Dans le troisième chapitre, nous nous intéressons à une optimisation de l’homogénéisation lorsque la longueur d’onde dominante varie fortement spatialement. Enfin, dans le quatrième chapitre, nous exposons une extension permettant d’homogénéiser la différence entre deux modèles élastiques, l’homogénéisation résiduelle, et deux de ses applications.