Nous nous intéressons dans cette thèse à la modélisation et la simulation numérique d'un problème couplé fluide/structure non linéaire avec surface libre fluide. Nous définissons un cas générique d'étude pour lequel nous formulons un problème linéaire (problème aux valeurs propres du système couplé) et un problème non linéaire (problème d'évolution du système couplé, initialement au repos et soumis à une excitation dynamique). Le problème non linéaire est formulé en pression/déplacement avec les équations de la dynamique linéaire pour la structure et l'équation de Laplace pour le fluide. La résolution du problème aux valeurs propres est conduite avec une méthode de couplage fort éléments finis (structure) et éléments finis/équation intégrale (fluide). Les formulations du problème modal couplé sont écrites dans avec prise en compte ou non des modes de ballottement du fluide. Le problème aux valeurs propres ainsi obtenu est non symétrique : il est résolu avec l'algorithme de Lanczos non symétrique. Le problème non linéaire est formulé en pression-vitesse/déplacement avec les équations de la dynamique non linéaire pour la structure et les équations de Stokes pour le fluide. La résolution du problème d'évolution utilise une méthode de couplage faible. Le problème fluide est résolu avec une technique volumes finis, avec une représentation en maillage mobile, un algorithme temporel découplé en pression/vitesse et une méthode de capture d'interface pour la simulation de la surface libre. Le problème structure est résolu avec une technique éléments finis, un algorithme temporel mixte implicite/explicite. Le couplage des deux problèmes est détaillé pour les aspects de couplage en espace (gestion d'incompatibilité de maillage, projection des efforts et des déplacements, algorithme de remaillage du problème fluide) et en temps (approche explicite, gestion des oscillations numériques). Un travail de validation du code de calcul CFD utilisé pour l'étude est proposé en comparant les résultats de calcul pour deux problèmes fluides élémentaires avec les solutions analytiques correspondantes. Ce travail conduit à la définition d'un benchmark général de validation d'un code de calcul CFD. Une étude numérique est ensuite conduite et permet de mettre en évidence la physique des interactions fluide/structure sur ce cas d'étude (masse ajoutée, masse déplacée, couplage de modes, effets des non linéarités structure). Une application des techniques de calcul éléments finis/éléments finis à l'analyse modale de l'ensemble panier/cuve d'un réacteur nucléaire de propulsion navale permet de montrer l'importance des interactions fluide/structure dans le cas industriel.

L'OBJECTIF DE CETTE ETUDE EST L'ANALYSE D'UN PROBLEME DE COUPLAGE FLUIDE STRUCTURE NON LINEAIRE. LES TROIS AXES ESSENTIELS DE CE TRAVAIL SONT LA MODELISATION MATHEMATIQUE, L'ANALYSE THEORIQUE DES EQUATIONS ET LEUR RESOLUTION NUMERIQUE. L'OBJECTIF DE LA MODELISATION EST DE DONNER LES HYPOTHESES QUI CONDUISENT A L'ETABLISSEMENT DES EQUATIONS DECRIVANT LES COMPORTEMENTS DE LA STRUCTURE, DU FLUIDE AINSI QUE LES PHENOMENES D'INTERACTION QUI INTERVIENNENT LORS D'UN COUPLAGE. LE COMPORTEMENT DU FLUIDE EST DECRIT A L'AIDE DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES COMPRESSIBLES ET CELUI DE LA STRUCTURE PAR L'OPERATEUR BIHARMONIQUE DES PLAQUES. LE COUPLAGE S'EXPRIME A L'AIDE DE L'HYPOTHESE DE CONTINUITE DES VITESSES NORMALES A L'INTERFACE ET PAR L'INTRODUCTION DANS LE SECOND MEMBRE DE L'EQUATION DE PLAQUE D'UN TERME TRADUISANT LA CONTRAINTE EXERCEE PAR LE FLUIDE SUR LA PLAQUE. D'UN POINT DE VUE THEORIQUE NOUS DONNONS DES RESULTATS D'EXISTENCE, D'UNICITE ET DE REGULARITE DE LA SOLUTION DE CE PROBLEME. ON RENCONTRE ESSENTIELLEMENT TROIS DIFFICULTES. LA PREMIERE EST LIEE A LA CONDITION DE COUPLAGE QUI EST UNE CONDITION DE TYPE DIRICHLET QUI NE PEUT ETRE INSEREE DANS LA FORMULATION VARIATIONNELLE. LA SECONDE DIFFICULTE PROVIENT DU SENS A DONNER A LA TRACE DU TERME EXPRIMANT LA CONTINUITE DES CONTRAINTES DANS L'EQUATION DE LA STRUCTURE. ENFIN, LES DIFFICULTES THEORIQUES INHERENTES AUX NON-LINEARITES SONT ACCENTUEES PAR LE COUPLAGE. EN PARTICULIER, LA NON LINEARITE DE L'EQUATION DE CONSERVATION DE LA MASSE DU FLUIDE NOUS CONDUIT A TRAVAILLER SUR UN DOMAINE A FRONTIERE VARIABLE. EN EFFET SI ON NEGLIGE LES MOUVEMENTS DE LA PLAQUE DANS LA GEOMETRIE DE LA STRUCTURE (HYPOTHESE DE PETITES PERTURBATIONS), ALORS LA CONSERVATION DE LA MASSE N'EST PLUS VERIFIEE ET ON N'OBTIENT PAS LES MAJORATIONS A PRIORI NECESSAIRES POUR MONTRER QUE LE PROBLEME EST BIEN POSE. NUMERIQUEMENT, NOUS PROPOSONS UNE METHODE DE RESOLUTION SPECTRALE SUIVANT DE PRES LA THEORIE ET DANS LAQUELLE LA METHODE DE GALERKIN EST COUPLEE A UNE TECHNIQUE DE POINT FIXE. A TITRE DE COMPARAISON, NOUS PRESENTONS A LA FIN DE CE TRAVAIL DES RESULTATS NUMERIQUES OBTENUS SUR UN PROBLEME TRIDIMENSIONNEL DANS LEQUEL LES EQUATIONS DE VON KARMAN SONT COUPLEES A L'EQUATION DES ONDES VISQUEUSE.

Ce travail de thèse porte sur l'étude d'un système d'interaction fluide-structure. Nous en traitons de nombreux aspects allant de sa modélisation jusqu'à l'étude de sa stabilisation et de sa simulation numérique. Le premier chapitre du manuscrit aborde la modélisation du système ainsi que l'existence de solutions fortes en temps petits. Le fluide est représenté par les équations de Navier-Stokes incompressibles. La structure est déformable et dépend d'un nombre fini de paramètres. Nous obtenons ses équations en appliquant un principe des travaux virtuels. Le système d'équations final est non linéaire. Nous prouvons l'existence locale d'une solution à ce système, dans un premier temps sur le système linéarisé autour de l'état nul. Puis, nous prouvons l'existence de solutions en temps petits au système non linéaire grâce à un argument de point fixe. Le deuxième chapitre traite de la stabilisation par feedback autour d'un état stationnaire non nul du système présenté dans le Chapitre 1. L'opérateur de feedback est déterminé à partir de l'analyse du problème linéarisé autour de l'état stationnaire et de la résolution d'une équation de Riccati. Le résultat de stabilisation portant sur le système non linéaire requiert des données petites et est obtenu par un argument de point fixe. Le troisième chapitre se concentre sur les aspects numériques de ce problème. La construction de l'opérateur de feedback correspond à la version discrétisée de celle proposée dans le Chapitre 2. Le système fluide-structure est simulé en utilisant une méthode de domaines fictifs.

Cette thèse est consacrée à l'analyse mathématique et numérique d'un problème d'interaction fluide-structure stationnaire, couplant un fluide newtonien, visqueux et incompressible, modélisé par les équations de Stokes 2D et une structure déformable, décrite par les équations d'une poutre 1D. Le fluide et la structure sont couplés via une condition aux limites de type frottement à l'interface.Dans l'étude théorique, nous montrons un résultat d'existence et unicité de solutions faibles, dans le cadre de petits déplacements, du problème de couplage fluide structure avec une condition de glissement de type Tresca en utilisant le théorème de point fixe de Schauder.Dans l'analyse numérique, nous étudions d'abord, l'approximation du problème de Stokes avec la condition de Tresca par une méthode d'éléments finis mixtes à quatre champs. Nous montrons ensuite une estimation d'erreur a priori optimale pour des données régulières et nous réalisons des tests numériques. Enfin, nous présentons un algorithme de point fixe pour la simulation numérique du problème couplé avec des conditions aux limites non linéaires.

DANS CETTE THESE, NOUS NOUS SOMMES INTERESSES A LA SIMULATION NUMERIQUE DE PHENOMENES D'INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE. PLUS PRECISEMENT NOUS AVONS MIS AU POINT DES METHODES D'INTEGRATION DECALEE, QUE NOUS AVONS ENSUITE APPLIQUEES A DES CAS AEROELASTIQUES 2D NON-LINEAIRES. LES METHODES COURAMMENT UTILISEES POUR CES SIMULATIONS ONT D'ABORD ETE DETAILLEES. PARMI CELLES-CI, LES METHODES DECALEES PERMETTENT L'EMPLOI MODULAIRE DE PROCEDURES CLASSIQUES DANS CHAQUE SOUS-DOMAINE. SUR UN PROBLEME MODELE 1D LINEAIRE, NOUS AVONS MIS EN EVIDENCE L'IMPORTANCE DE L'ALGORITHME DE COUPLAGE UTILISE. NOUS AVONS DEMONTRE QUE DES CONSIDERATIONS ENERGETIQUES PERMETTENT D'ASSURER NON SEULEMENT LA STABILITE DU SYSTEME LINEAIRE COUPLE MAIS AUSSI L'INCONDITIONNELLE STABILITE DE NOUVEAUX SCHEMAS DECALES IMPLICITES, OU LE FLUIDE EST SOUS-CYCLE, CE QUI PERMET UNE SIMULATION PLUS RAPIDE, SURTOUT SUR MACHINES PARALLELES. LES IDEES GENERALES DEGAGEES DE CES MODELES ONT ENSUITE ETE APPLIQUEES A DES PROBLEMES 1D NON-LINEAIRES. NOUS AVONS ELABORE UNE NOUVELLE METHODE A INTERFACE DOUBLE, PLUS SOUPLE ET PLUS PRECISE, PUIS NOUS L'AVONS APPLIQUEE A DES PROBLEMES D'ECOULEMENTS 2D INSTATIONNAIRES NON-VISQUEUX AUTOUR DE STRUCTURES LINEAIRES MOBILES ET/OU DEFORMABLES EN FLOTTEMENT TRANSSONIQUE OU SUPERSONIQUE: DES RESULTATS PRECIS FURENT OBTENUS EN DE BIEN MOINDRES TEMPS DE CALCUL

Fluid-structure interaction is a new theme of investigation in computational methods, covering many applications in both engineering and medical sciences. This book deals with various examples of interaction between a fluid and a structure, and each author presents, for the different problems involved, the method which is considered to be the most appropriate.

L'OBJECTIF DE CETTE THESE EST DOUBLE. D'UNE PART, UN PROGRAMME DE RESOLUTION NUMERIQUE DES PROBLEMES COUPLES D'INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE A ETE DEVELOPPE, DANS LE CADRE D'UN CODE ELEMENTS FINIS. EN PARTANT D'UN FORMALISME DE TYPE SOUS-DOMAINES AVEC COUPLAGE PAR MULTIPLICATEURS DE LAGRANGE (ADAPTE A UNE PARALLELISATION DU CODE), SUR UNE DESCRIPTION ALE, DEUX ALGORITHMES DISTINCTS SONT EXPOSES. LE PREMIER, ADAPTE AUX CALCULS EN REGIME TRANSITOIRE, EST QUALIFIE DE QUASI-EXPLICITE CAR SEUL LE TRAITEMENT DE LA PRESSION POUR UN FLUIDE EN ECOULEMENT INCOMPRESSIBLE EST IMPLICITE. LE DEUXIEME EST UNE SIMPLIFICATION POUR LES CAS QUASI-STATIQUES. IL S'AGIT D'UN ALGORITHME DE TYPE POINT FIXE, AVEC COUPLAGE QUALIFIE DE NEUMANN-DIRICHLET. D'AUTRE PART, NOUS PRESENTONS UN CRITERE D'INSTABILITE DU SYSTEME COUPLE, BASE SUR UNE METHODE DE PERTURBATION SUR LE PRINCIPE DES PUISSANCES VIRTUELLES. CE CRITERE N'A PAS ETE IMPLEMENTE NUMERIQUEMENT. CES RESULTATS SONT MIS EN UVRE SUR UN EXEMPLE BIOMECANIQUE DE FERMETURE DE VEINE SOUS PRESSION TRANSMURALE, EN PRESENCE D'ECOULEMENT INTERNE. LE MODELE DE PAROI EST DE TYPE COQUE MINCE, AVEC NON LINEARITES GEOMETRIQUES ET COMPORTEMENTALES. DES CALCULS 2D, PUIS 3D, SONT PRESENTES ET VALIDES PAR COMPARAISON AVEC LA LITTERATURE. DIFFERENTES STRATEGIES DE TRANSPORT DE MAILLAGE ALE SONT EVALUEES. DES ETUDES PARAMETRIQUES ONT PERMIS DE METTRE EN EVIDENCE DES CAS DE DESTABILISATION DE LA PAROI. DE PLUS, UN CRITERE FAIBLEMENT COUPLE DE FLAMBAGE, DE TYPE CHARGE CRITIQUE D'EULER SUR LA MEMBRANE, TENANT COMPTE DES EFFORTS REACTUALISES VENANT DU FLUIDE, S'EST AVERE NON PREDICTIF, JUSTIFIANT L'EMPLOI D'UN CRITERE COUPLE.