Cette thèse porte sur l'étude de modèles et de méthodes numériques pour les écoulements diphasiques compressibles à faible nombre de Mach. Toutes les méthodes numériques développées dans cette étude sont basées sur une formulation de type volumes finis en maillages non structurés. La première partie de cette thèse propose une analyse du comportement des schémas décentrés de type Godunov dans la limite des faibles nombres de Mach. Nous expliquons de manière rigoureuse les raisons pour lesquelles ces schémas aboutissent à des approximations imprécises lorsque les écoulements sont très proches de l'incompressible. Nous développons alors des méthodes de préconditionnement adaptées qui permettent de retrouver de bonnes approximations. Ce premier travail complète un certain nombre de travaux récents sur l'analyse des schémas décentrés dans la limite des faibles nombres de Mach. Le deuxième point abordé dans cette thèse est un travail de modélisation où nous développons à partir d'un modèle bi-fluides à sept équations de type Baer-Nunziato, un modèle réduit à cinq équations pour les écoulements diphasiques. Ce travail présente une méthode originale de réduction de systèmes hyperboliques avec termes sources raides. Nous développons pour ce modèle un schéma numérique implicite et suivant la stratégie utilisée dans la première partie de cette thèse, une technique de préconditionnement adaptée aux écoulements à faible vitesse. Les expériences numériques réalisées montrent que ce modèle est bien adapté au calcul d'ondes de détonations ainsi qu'à la simulation d'interfaces entre fluides compressibles. Enfin la dernière partie de cette thèse porte sur l'étude d'un modèle à sept équations pour le calcul d'écoulements diphasiques à faible nombre de Mach. On développe des méthodes numériques implicites basées sur des solveurs de Riemann approchés, permettant de réduire les coûts de calcul pour ce type de régime.

DANS CETTE THESE NOUS NOUS INTERESSONS A LA RESOLUTION NUMERIQUE DE QUELQUES MODELES D'ECOULEMENTS DIPHASIQUES DE TYPE GAZ-LIQUIDE EN CONDUITES PETROLIERES. LES METHODES NUMERIQUES DEVELOPPEES SONT LOIN DE SE RESTREINDRE AU CADRE PETROLIER, MAIS PEUVENT ETRE UTILISEES PLUS GENERALEMENT DANS LE CADRE DE LA DISCRETISATION DE TOUT MODELE PHYSIQUE S'EXPRIMANT SOUS LA FORME D'UN SYSTEME HYPERBOLIQUE. NOUS INTRODUISONS DEUX MODELES BI-FLUIDE ISOTHERMES COMPORTANT UNE EQUATION DE MASSE ET UNE EQUATION DE QUANTITE DE MOUVEMENT PAR PHASE, VALABLES RESPECTIVEMENT EN REGIME STRATIFIE ET EN REGIME DISPERSE. CES MODELES SONT HYPERBOLIQUES SOUS UNE CONDITION PHYSIQUEMENT ACCEPTABLE ET S'EXPRIMENT SOUS UNE FORME VECTORIELLE NON-CONSERVATIVE. NOUS DEFINISSONS UN NOUVEAU SCHEMA NUMERIQUE (VFROE) DE TYPE VOLUMES FINIS BASE SUR LA RESOLUTION D'UN PROBLEME DE RIEMANN LINEARISE CAPTURANT LES CHOCS DE MANIERE SATISFAISANTE ET NE NECESSITANT PAS DE CALCULS ANALYTIQUES. CE SCHEMA EST COMPARE AU CLASSIQUE SCHEMA DE ROE. NOUS PROPOSONS ET ETUDIONS ALORS QUELQUES METHODES NUMERIQUES NON-CONSERVATIVES, AVEC ET SANS SPLITTING DE FLUX, ADAPTEES A LA DISCRETISATION DES MODELES DIPHASIQUES BASEES SUR UNE INTEGRATION DIRECTE DE TYPE VOLUMES FINIS DES EQUATIONS ET S'APPUYANT SUR LE SCHEMA VFROE. AFIN DE REDUIRE LE TEMPS CALCULS LIE AU FAIBLE NOMBRE DE MACH DES ECOULEMENTS, LES ONDES ACOUSTIQUES SONT IMPLICITEES. NOUS PROPOSONS UNE DISCRETISATION DES CONDITIONS AUX LIMITES DE TYPE FLUIDE ADAPTEE AUX ECOULEMENTS INSTATIONNAIRES EN CONDUITES. DE NOMBREUX CAS-TESTS NUMERIQUES ACADEMIQUES ET PRATIQUES MONTRENT QUE CES METHODES NUMERIQUES CONDUISENT A DES RESULTATS SATISFAISANTS.

Les travaux de thèse sont axés sur les méthodes numériques pour les écoulements diphasiques, compressibles, à faible vitesse, avec apparition soudaine de forts gradients de pression. La vitesse matérielle de chacune des phases étant très petite devant la célérité des ondes acoustiques, le régime d'écoulement est dit à faible nombre de Mach. Dans ce travail, la loi d'état de la phase considérée contient toujours une information mesurant sa plus ou moins grande compressibilité. Ainsi, la faible compressibilité de l'eau peut produire un régime d'écoulement où des sauts de pression importants apparaissent même si le nombre de Mach est très faible. La première partie de la thèse s'est focalisée sur un modèle diphasique dit homogène-équilibré. Les deux phases de l'écoulement ont alors la même vitesse, pression, température et même potentiel chimique. Un premier travail a été la construction de solveurs de Riemann approchés dits tout-nombre-de-Mach. En l'absence de transitoire rapide, ces solveurs basent leur contrainte de pas de temps sur la vitesse des ondes matérielles lentes et sont donc précis pour suivre ces dernières. En revanche, lorsqu'une onde de choc rapide traverse l'écoulement, ces solveurs s'adaptent automatiquement afin de la capturer. La seconde partie de la thèse s'est focalisée sur la prise en compte du couplage convection-source dans le cadre des modèles en approche bi-fluides avec effets de relaxation pression-vitesse. Dans ces modèles, les deux phases de l'écoulement possèdent leur propre jeu de variables. Dans ce travail, un schéma implicite à mailles décalées, basé sur l'influence des termes sources dans des problèmes de Riemann linéaires, a été proposé

ON S'INTERESSE A L'ETUDE NUMERIQUE DE MODELES BI-FLUIDE D'ECOULEMENTS DIPHASIQUES EN DESEQUILIBRE DECRITS PAR UN SYSTEME A SIX EQUATIONS. ON INTRODUIT UNE TECHNIQUE ORIGINALE DE DECOMPOSITION DU SYSTEME. CETTE TECHNIQUE PERMET L'UTILISATION DE SOLVEURS DE RIEMANN DEVELOPPES POUR LES ECOULEMENTS MONOPHASIQUES ; DE PLUS ELLE PERMET UNE EXTENSION DIRECTE A D'AUTRES MODELES PLUS EVOLUES CONTENANT DES TERMES D'ECHANGES ENTRE PHASES PLUS PRECIS. LES PROPRIETES DES FLUIDES SONT APPROCHEES PAR DES LOIS D'ETAT DE TYPE GAZ PARFAIT POLYTROPIQUE PUIS ETENDUES AU CAS DES FLUIDES REELS. POUR LA CONSTRUCTION DES SCHEMAS NUMERIQUES, L'HYPERBOLICITE DU SYSTEME GLOBAL N'EST PAS NECESSAIRE. EN UTILISANT DES SCHEMAS CINETIQUES DECENTRES APPROPRIES DE TYPE VOLUMES FINIS, ON MONTRE QUE LA METHODE EST CAPABLE DE TRAITER DIFFERENTS REGIMES D'ECOULEMENTS POUVANT EVOLUER D'UN ECOULEMENT DIPHASIQUE A UN ECOULEMENT MONOPHASIQUE ET VICE VERSA, TOUT EN PRESERVANT LES CARACTERISTIQUES DES GRANDEURS PHYSIQUES QUI RESTENT DANS L'ENSEMBLE DES ETATS ADMISSIBLES. PLUSIEURS TESTS NUMERIQUES MODELISANT DES PROBLEMES PHYSIQUES SONT PRESENTES POUR ILLUSTRER L'EFFICACITE DE LA METHODE PROPOSEE.

Cet ouvrage initie le lecteur à l'analyse de certaines équations aux dérivées partielles issues de la mécanique des fluides. Celles-ci sont présentées à partir des principes fondamentaux de la mécanique et de la thermodynamique. Une partie importante du texte est consacrée aux résultats "classiques" sur les problèmes de Stokes et de Navier-Stokes homogènes incompressibles. Enfin, les derniers chapitres traitent de questions issues de travaux de recherche récents.

Les écoulements diphasiques sont omniprésents dans les procédés industriels. Tous les secteurs sont concernés par le comportement et la maîtrise des mélanges non miscibles de gaz et de liquides, de plusieurs liquides entre eux, de solides et de fluides, que ce soit pour la production de matières premières (mines, pétrole, gaz), l’environnement, la production d’énergie, la chimie, la pharmacie ou l’agroalimentaire. Malgré la complexité apparente des systèmes, il est toutefois possible d’effectuer une modélisation physique du procédé à partir des équations intégrées de la mécanique des fluides. Précis et didactique, ce livre regroupe les éléments fondamentaux nécessaires aux calculs prédictifs des équipements et à la compréhension des phénomènes qui caractérisent ces écoulements. L’originalité de cet ouvrage réside dans la présentation synthétique de tous les types de systèmes (monophasique, gaz-liquide, liquide-liquide, fluide-solide) et dans l’illustration des notions introduites par des exemples industriels concrets. À la fois fondamental et pratique, cet ouvrage s’adresse non seulement aux ingénieurs concepteurs et exploitants d’équipements pour fluides diphasiques qui y trouveront les connaissances essentielles à l’amélioration de leur pratique, mais aussi aux étudiants et aux enseignants des licences et masters de mécanique des fluides ou de génie des procédés.