CETTE THESE EST DIVISEE EN 2 PARTIES. DANS LA 1ERE NOUS ETUDIONS L'EXISTENCE ET LA MULTIPLICITE DE SOLUTIONS DE DIVERS PROBLEMES ELLIPTIQUES NON LINEAIRES POSES DANS DES OUVERTS BORNES ET NON BORNES DE R**(N). DANS LA 2EME PARTIE ON ETUDIE DES PROBLEMES DE MINIMISATION NON COMPACTS CAR INVARIANTS SOUS L'ACTION D'UN CERTAIN NOMBRE DE GROUPES DE TRANSFORMATION NON COMPACTS. LES SOLUTIONS DE CES PROBLEMES SATISFONT AUSSI DES EQUATIONS ELLIPTIQUES NON LINEAIRES, QUI SONT LES EQUATIONS D'EQUILIBRE DE DIVERS SYSTEMES PHYSIQUES. 1ERE PARTIE : ON S'INTERESSE D'ABORD A L'EXISTENCE DE SOLUTIONS DE PROBLEMES ELLIPTIQUES SURLINEAIRES DANS UNE BANDE INFINIE DE R**(N). LA NON BORNITUDE DES BANDES INFINIES POSE DES PROBLEMES DE COMPACITE LORSQU'ON CHERCHE A TROUVER DES SOLUTIONS D'UNE FORME QUELCONQUE DE CES PROBLEMES. ON DOIT EN FAIT SE RESTREINDRE AUX FONCTIONS QUI ONT DES PROPRIETES DE SYMETRIE PARTICULIERES (SYMETRIE SPHERIQUE DANS LES VARIABLES NON BORNEES DE LA BANDE) ET ALORS ON DEMONTRE QU'ON A LA COMPACITE NECESSAIRE POUR APPLIQUER DES RESULTATS DE POINTS CRITIQUES STANDARD ET OBTENIR DES SOLUTIONS DU PROBLEME QU'ON ETUDIE. DANS LE RESTE DE CETTE 1ERE PARIE ON UTILISE DES METHODES TOPOLOGIQUES (ESTIMATIONS A PRIORI DANS DIVERS ESPACES DE SOBOLEV, DEGRE TOPOLOGIQUE, ETC) POUR DEMONTRER DES RESULTATS DE MULTIPLICITE POUR LES SOLUTIONS DE PROBLEMES ELLIPTIQUES NON LINEAIRES DANS UNE BOULE DE R**(N) ET EGALEMENT D'EXISTENCE DE SOLUTIONS POSITIVES PERIODIQUES DE PROBLEMES PARABOLIQUES SURLINEAIRES. 2EME PARTIE : ETUDE DU PROBLEME DE SKYRME, QUI CONSISTE A CHERCHER DES ETATS STATIONNAIRES POUR DES CHAMPS DE MESONS LIBRES. DEMONSTRATION DE L'EXISTENCE D'UNE SOLUTION DANS LE CAS D'UN MESON ET DONNONS UNE CONDITION SUFFISANTE DANS LE CAS DE PLUSIEURS. UTILISATION DE LA METHODE DE LA CONCENTRATION-COMPACITE ET DES RELATIONS ENTRE LES FONCTIONNELLES SIGNIFICATIVES DANS LE PROBLEME. UN 2EME PROBLEME TRAITE ICI CONSISTE A L'ETUDE DE PROBLEMES DE MINIMISATION QUI MODELISENT LES ETATS D'EQUILIBRE DE SYSTEMES DE PARTICULES ELEMENTAIRES SOUS L'ACTION D'UN CHAMP MAGNETIQUE. NOUS DONNONS DES CONDITIONS POUR L'EXISTENCE D'UNE INFINITE DE SOLUTIONS DES EQUATIONS D'EULER CORRESPONDANTES, QUI SONT DU TYPE EQUATIONS DE SCHROEDINGER SURLINEAIRES

Qu’il s’agisse d’applications en physique ou en mécanique, en médecine ou en biologie, mais aussi en économie, dans les médias et en marketing, ou encore dans le domaine des finances, la traduction phénoménologique du système étudié conduit très souvent à la résolution d’équations différentielles ou aux dérivées partielles. Incontestablement, ce sont les éléments finis qui ont bouleversé le monde de l’approximation numérique des équations aux dérivées partielles. Cet ouvrage est composé de deux parties : la première est un abrégé de cours portant sur les outils de base de l’analyse mathématique des équations aux dérivées partielles et la seconde contient des problèmes corrigés qui abordent l’approximation par éléments finis des formulations variationnelles des problèmes aux limites elliptiques. Des applications en mécanique des solides déformables, à la résistance des matériaux, en mécanique des fluides et en thermique ainsi que quelques problèmes non linéaires y sont présentés.Cet ouvrage s'adresse aux étudiants en sciences et techniques de l'ingénieur des universités et des grandes écoles.

Ce cours d'analyse est consacré à l'exposition d'un certain nombre de thèmes classiques en théorie des équations aux dérivées partielles et s'adresse à des étudiants de master, des élèves en écoles d'ingénieurs ou à tous ceux qui désirent connaître cette partie importante des mathématiques. Ce travail part du théorème d'Existence et d'Unicité pour les solutions d'équations différentielles non-linéaires, aborde la résolution des équations scalaires linéaires du 1er ordre et s'intéresse ensuite aux équations scalaires quasi-linéaires. La transformation de Fourier ici présentée est très importante car elle permet de résoudre les équations à coefficients constants de la forme P(u) = F où P est un opérateur différentiel en (t, x). Les équations des ondes, de la chaleur et de Schrödinger sont toutes de ce type et font l'objet d'une résolution très détaillée au moyen de formules explicites. On quitte ensuite le domaine des équations à coefficients constants pour celui des équations à coefficients variables. Les méthodes employées pour résoudre ces équations donnent lieu à des développements très importants et font largement partie du domaine de la recherche.

Philippe Bénilan was a most original and charismatic mathematician who had a deep and decisive impact on the theory of Nonlinear Evolution Equations. Dedicated to him, Nonlinear Evolution Equations and Related Topics contains research papers written by highly distinguished mathematicians. They are all related to Philippe Benilan's work and reflect the present state of this most active field. The contributions cover a wide range of nonlinear and linear equations.

CETTE THESE EST DIVISEE EN TROIS CHAPITRES. DANS LE PREMIER ON DONNE UN RESULTAT DE NON EXISTENCE POUR UNE EQUATION ELLIPTIQUE NON LINEAIRE A L'EXPOSANT CRITIQUE. LE DEUXIEME EST CONSACRE A L'ETUDE D'EQUATIONS DES ONDES AVEC DISSIPATION NON LINEAIRE. ON MONTRE L'EXISTENCE DE SOLUTIONS GLOBALES RETROGRADES ET ON OBTIENT DES ESTIMATIONS OPTIMALES SUR LES CONSTANTES DEPENDANTES DE L'ENERGIE INITIALE APPARAISSANT DANS LES ESTIMATIONS SUR LA DECROISSANCE DE L'ENERGIE. DANS LE TROISIEME CHAPITRE ON ETUDIE LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS DES EQUATIONS DU TOURBILLON EN DIMENSIONS DEUX ET TROIS LORSQUE LE TEMPS TEND VERS L'INFINI. POUR CERTAINES CLASSES DE DONNEES ON MONTRE QUE LES SOLUTIONS SE RAPPROCHENT DE SOLUTIONS AUTOSEMBLABLES DES EQUATIONS DU TOURBILLON CONVENABLEMENT CHOISIES.

Nous nous intéressons dans cette thèse à divers problèmes d'équations aux dérivées partielles elliptiques non-linéaires dans la première partie, nous construisons un contre-exemple pour montrer un résultat de non-existence de solutions d'ondes progressives pour un modèle intervenant en combustion dans un domaine cylindrique infini en dimension trois. L'objet de la deuxième partie est l'existence de solutions d'une équation semi-linéaire dans un cylindre fini, faisant intervenir le gradient dans le terme non-linéaire. Les conditions aux bords sont mixtes de type Dirichlet et Newmann. Nous utilisons la méthode de sous- et sur-solutions. La difficulté ici est le fait que le domaine possède des coins. Dans la troisième partie, nous étudions comme dans la première partie l'existence d'ondes progressives dans un domaine cylindrique infini dans le cas où le terme source change plusieurs fois de signe. Nous établissons une condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une onde. Enfin la quatrième partie a pour objet l'étude de la symétrie de solutions positives d'une équation aux dérivées partielles elliptique semi-linéaire dans des domaines sectoriels avec des conditions aux bords mixtes de Dirichlet et Newmann et utilise des développements récents sur la méthode de déplacement d'hyperplans

Equations différentielles ordinaires, systèmes différentiels linéaires, flots, équations aux dérivées partielles (EDP), méthode de la diffusion inverse, formulation variationnelle des EDP, opérateurs pseudo-différentiels. Public : étudiants des niveaux L1, L2 et L3 ainsi qu'aux étudiants de M1 et M2 pour certaines parties.