ETUDE DES SOLUTION ANALYTIQUES ET NUMERIQUES D'UNE EQUATION NON LINEAIRE D'ORDRE QUATRE, DECRIVANT UN OSCILLATEUR A FEEDBACK (CONTRE REACTION) ISSU D'UNE APPLICATION CONCRETE. LES REGIMES PERIODIQUES DE CET OSCILLATEUR SE SONT AVERES QUANTITATIVEMENT COMPLIQUES MAIS QUALITATIVEMENT SIMPLES. NOUS AVONS EGALEMENT ETUDIE UNE CLASSE D'EQUATION MODELES D'ORDRE QUATRE, ACTUELLEMENT SANS APPLICATION CONCRETE CONNUE ET QUI POSSEDENT DES SOLUTIONS OSCILLATOIRES COMPLEXES. CES EQUATIONS COMPORTENT DES NON LINEARITES QUADRATIQUES ET CUBIQUES. UTILISANT DES SERIES DE POINCARE, NOUS AVONS CONSTRUIT DES SOLUTIONS APPROCHEES ANALYTIQUES AYANT UNE PRECISION DE QUATRE A SIX CHIFFRES SIGNIFICATIFS LORSQUE LES SOLUTIONS SONT PERIODIQUES. QUAND LES SOLUTIONS SONT OSCILLATOIRES MAIS NON PERIODIQUES, NOS APPROXIMATIONS SONT SATISFAISANTES SEULEMENT DANS UN INTERVALLE DE T QUI CONTIENT AU PLUS TROIS OU QUATRE EXTREMA SUCCESSIFS DE LA FORME D'ONDE

Ce mémoire porte essentiellement sur la construction analytique des solutions périodiques de deux équations différentielles non linéaires d'ordre trois autonomes. La première équation décrit un oscillateur électronique pratique a contreréaction. Nous avons construit une solution périodique, ayant une précision de quatre a six chiffres significatifs dans le domaine physiquement réaliste des paramètres. La seconde équation sans application connue, mais inspirée de l'étude d'une ligne de transmission à pertes compensées, possède des solutions périodiques et des solutions oscillatoires complexes. Utilisant trois méthodes analytiques différentes, nous avons construit certaines de ces solutions périodiques. Ces solutions éclairent la structure possible de toutes les solutions oscillatoires

Ces travaux s'articulent autour du calcul des solutions périodiques dans les systèmes dynamiques non linéaires, au moyen de méthodes numériques de continuation. La recherche de solutions périodiques se traduit par un problème avec conditions aux limites périodiques, pour lequel nous avons implémenté deux méthodes d'approximation : - Une méthode spectrale dans le domaine fréquentiel, l'équilibrage harmonique d'ordre élevé, qui repose sur une formulation quadratique des équations. Nous proposons en outre une extension de cette méthode aux cas de non-linéarités non rationnelles. - Une méthode pseudo-spectrale dans le domaine temporel, la collocation à l'aide fonctions polynômiales par morceaux. Ces méthodes transforment le problème continu en un système d'équations algébriques non linéaires, dont les solutions sont calculées par continuation à l'aide de la méthode asymptotique numérique. L'ensemble de ces outils, complétés d'une analyse linéaire de stabilité, sont intégrés au code de calcul MANLAB. Applications : Un modèle physique non-régulier de clarinette est étudié en détail : à partir de la branche de solutions statiques et ses bifurcations, on calcule les différentes branches de solutions périodiques, ainsi que leur stabilité et leurs bifurcations. Ce modèle est ensuite adapté au cas du saxophone, pour lequel on intègre une caractérisation acoustique expérimentale, afin de mieux tenir compte de la géométrie complexe de l'instrument. Enfin, nous étudions un modèle physique simplifié de violon, avec une non-régularité liée frottement de Coulomb.

L'étude par continuation des solutions périodiques et quasi-périodiques est appliquée à plusieurs modèles issus du violon. La continuation pour un modèle à un degré de liberté avec friction régularisée permet de montrer la préservation, par rapport à la friction de Coulomb, des bifurcations de cycle limite (une vitesse maximale et une force minimale permettant le mouvement de Helmholtz) et de propriétés globales de la branche de solution (croissance de l'amplitude avec la vitesse, décroissance de la fréquence avec la force normale). L'équilibrage harmonique est évalué sur la friction régularisée et a des propriétés de convergence intéressantes (erreur faible, monotone, à décroissance rapide). La continuation sur un modèle à deux modes donne accès aux solutions de registres supérieurs, dont la stabilité coïncide avec l'expérience. La valeur retenue pour l'inharmonicité peut modifier fortement le diagramme de bifurcation. Une nouvelle méthode de continuation des solutions quasi-périodiques est proposée. Elle associe l'EH étendu à deux pulsations avec la Méthode Asymptotique Numérique. Une attention particulière est portée à la rapidité des calculs, face à la croissance rapide de la taille des systèmes à inverser. Un modèle de friction prenant en compte la température au point de contact est reformulé à l'aide d'une dérivée fractionnaire. Nous proposons une méthode de continuation de solutions périodiques de systèmes contenant des dérivées ou intégrales fractionnaires. Nous établissons une condition suffisante pour que les cycles asymptotiques du cadre causal (Caputo) soient solutions du cadre que nous avons choisi.

Ce livre est une introduction à la théorie des systèmes dynamiques. On étudie les systèmes dynamiques topologiques, en basse dimension, hyperboliques et symboliques, ainsi que, brièvement, la théorie ergodique. Le livre peut être utilisé comme manuel pour un cours d’un ou deux semestres pour les étudiants de niveau avancé de licence ou les étudiants des cycles supérieurs. Il peut aussi être utilisé pour une étude indépendante et comme point de départ pour l’étude de sujets plus spécialisés. L’exposition est directe et rigoureuse. En particulier, tous les résultats sont prouvés. Le texte comprend de nombreux exemples qui illustrent en détail les concepts et les résultats, ainsi que 140 exercices, avec différents niveaux de difficulté.

LA STABILITE DES SOLUTIONS PERIODIQUES DES SYSTEMES HAMILTONIENS EST ETUDIEE GRACE A DE NOUVELLES SIMPLIFICATIONS DE LA FONCTION DE HAMILTON QUI DECRIT LEUR VOISINAGE. C. MARCHAL A REMARQUE QUE LES TERMES RESONANTS RESTES APRES LES SIMPLIFICATIONS CLASSIQUES DEVENAIENT AUTONOMES LORSQUE LA PARTIE QUADRATIQUE ETAIT ELIMINEE. DANS LES CAS DE RESONANCES POSITIVES L'ETUDE DU PREMIER ORDRE NE SUFFIT PLUS POUR ASSURER LA STABILITE A TOUS LES ORDRES. L'ETUDE EST ALORS REPRISE AVEC LES PREMIERS TERMES D'ORDRE SUPERIEUR: C'EST LE PROBLEME PRINCIPAL. LES ELEMENTS THEORIQUES INDISPENSABLES SONT CITES EN INTRODUCTION ET PRECISES DANS LE CHAPITRE 1. LE CHAPITRE 2 DECRIT BRIEVEMENT LES CONTRAINTES TOPOLOGIQUES LIEES A L'EXISTENCE DE MOUVEMENTS ASYMPTOTIQUES, TOUJOURS DESTABILISANTS. LE CHAPITRE 3 EST UNE PREMIERE ANALYSE DU PROBLEME PRINCIPAL. LA METHODE DE BRIOT ET BOUQUET EST ETENDUE AU CAS DES SOLUTIONS PERIODIQUES. LE CHAPITRE 4 PRESENTE L'ETUDE DES SYSTEMES PRINCIPAUX LES PLUS INSTABLES. LES PROBLEMES REELS CORRESPONDANTS ONT LA MEME INSTABILITE. LE CHAPITRE 5-A ETABLIT L'IMPOSSIBILITE DE GARANTIR LA STABILITE A PARTIR D'UN HAMILTONIEN PRINCIPAL DE DEGRE IMPAIR. LE CHAPITRE 5-B DECRIT AU CONTRAIRE DES CONDITIONS GENERIQUES DE STABILITE A TOUS LES ORDRES LORSQUE L'HAMILTONIEN PRINCIPAL EST DE DEGRE 4, CE QUI EST LE CAS LE PLUS COURANT