We consider two different problems here. In the first part we study the asymptotic behaviour at, infinity of solutions to equations describing steady flow of certain classes of non-Newtonian fluid, the other part concerns threedi-rnensional flow of viscous and ideal fluid in the whole space.We first introduce several models of fluids and the systems of equations describing, the stationary flow of the non-Newtonian fluids are reformulated in order to point up their mixed hyperbolic elliptic character. The next part is devoted to a detailed study of certain linear problems; we first, consider the (classical) Oseen problem, where the greatest interest is devoted to the weighted estimates of both singular and weakly singular integral operators with kernels corresponding to the fundamental solution to the Oseen problem and its derivatives. Next we study the so-called modified Oseen problem, i.e. a small linear perturbation of the classical Oseen problem. Further we summarize and slightly extend the results on the steady transport equation. Afterwards, these results are used in the construction of solutions and the study of the asymptotic properties of solutions to the systems of equations describing the stationary flow of certain classes of viscoeiastic fluids past an obstacle. We show that for sufficiently slow flows the a.symptotic properties of the solution correspond to those of the fundamental solution to the Oseen problem.In the other part of the thesis we consider non stationary flow of both linearly viscous and ideal fluid in the whole space. We show that under the additional a.ssumption of the axial symmetry of the data, the solution is smooth if the data are smooth and therefore unique in the class of all weak solutions.

The Handbook of Mathematical Fluid Dynamics is a compendium of essays that provides a survey of the major topics in the subject. Each article traces developments, surveys the results of the past decade, discusses the current state of knowledge and presents major future directions and open problems. Extensive bibliographic material is provided. The book is intended to be useful both to experts in the field and to mathematicians and other scientists who wish to learn about or begin research in mathematical fluid dynamics. The Handbook illuminates an exciting subject that involves rigorous mathematical theory applied to an important physical problem, namely the motion of fluids.

CETTE THESE EST CONSACREE A L'ETUDE DE 3 PROBLEMES, CHACUN ETANT ASSOCIE A UNE EQUATION DE NATURE DIFFERENTE. LA PREMIERE PARTIE CONCERNE LE PROBLEME D'EXISTENCE D'ECOULEMENTS STATIONNAIRES DES EQUATIONS D'EULER COMPRESSIBLES BAROTROPIQUES A TRAVERS UN DOMAINE BORNE. INTRODUISANT DE BONNES CONDITIONS A L'ENTREE ET A LA SORTIE, NOUS MONTRONS QU'IL EXISTE UNE SOLUTION VERIFIANT CES CONDITIONS ET QUE CETTE SOLUTION, CORRESPONDANT A UN ECOULEMENT SUBSONIQUE, EST LOCALEMENT UNIQUE DANS SA CLASSE DE REGULARITE. DANS LA DEUXIEME PARTIE, NOUS ETUDIONS LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS DE L'EQUATION DE KURAMOTO-SIVASHINSKY AVEC DES CONDITIONS PERIODIQUES AU BORD EN DIMENSION 2. NOUS MONTRONS QUE SI LA LARGEUR DU DOMAINE VERIFIE UNE CERTAINE ESTIMATION EN FONCTION DE LA LONGUEUR, CETTE EQUATION ADMET UN ENSEMBLE BORNE LOCALEMENT ABSORBANT QUE L'ON ESTIMERA AINSI QUE SON BASSIN D'ABSORPTION. LA TROISIEME PARTIE, COMPOSEE DES CHAPITRES 3 ET 4, EST CONSACREE A LA MODELISATION ET LA THEORIE MATHEMATIQUE DES ONDES HYDRODYNAMIQUES BI-DIMENSIONNELLES LORSQUE L'ON TIENT COMPTE DES EFFETS DE LA VISCOSITE. DANS UN PREMIER TEMPS, A L'AIDE DE LA THEORIE CLASSIQUES DES COUCHES LIMITES, ON MONTRE QUE, PARTANT DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES, ON PEUT FORMELLEMENT OBTENIR L'EQUATION DE K-P II COMPLETEE D'UN TERME NON LOCAL A LA FOIS DISPERSIF ET DISSIPATIF DANS LA DIRECTION PRINCIPALE DE PROPAGATION. DANS UN DEUXIEME TEMPS, ON ETUDIE LA DECROISSANTE EN TEMPS DES EQUATIONS DE KADOMTSEV-PETVIASHVILI GENERALISEE COMPLETEES D'UN TERME DE TYPE BURGERS DANS LA DIRECTION PRINCIPALE DE PROPAGATION. APRES AVOIR ETUDIE LE PROBLEME DE CAUCHY GLOBAL, ON MONTRE QUE LES TAUX DE DECROISSANCE EN CERTAINES NORMES DE LA SOLUTION DE CES EQUATIONS NON LINEAIRES SONT LES MEMES QUE CEUX EXHIBES PAR CELLE DE CES MEMES EQUATIONS LINEARISEES AUTOUR DE LA SOLUTION NULLE

LE SUJET DE CETTE THESE CONCERNE DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES NON LINEAIRES PROVENANT DE PROBLEMES GEOMETRIQUES OU PHYSIQUES. LE TRAVAIL EST COMPOSE DE TROIS PARTIES INDEPENDANTES. PLUS PRECISEMENT, ON ETUDIE SOIT L'UNICITE, SOIT LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE, SOIT L'EXISTENCE DES SOLUTIONS DE CES EQUATIONS

ON DETERMINE LES FAISCEAUX DES GERMES DES SOLUTIONS ANALYTIQUES POUR L'EQUATION D'EULER ET CELLE DE L'EQUATION LANDAU-LIFSCHITZ CE QUI PERMET D'ECRIRE EXPLICITEMENT LE DEVELOPPEMENT DE TAYLOR DE TOUTE SOLUTION ANALYTIQUE DE CES DEUX SYSTEMES EQUATIONS. ON A MONTRE QUE CES DEUX SYSTEMES EQUATION NE POSSEDENT PAS DES CONDITIONS BIEN POSEES SUR L'HYPERPLAN DEFINI POUR LE TEMPS EGAL A UN CONSTANT, DONC CONTRAIREMENT A L'EXIGENCE D'UN PHENOMENE PHYSIQUE. ENFIN, ON A MONTRE QUE L'EQUATION DE NAVIER-STOKES EST NON STABLE

CETTE THESE EST DIVISEE EN TROIS CHAPITRES. DANS LE PREMIER ON DONNE UN RESULTAT DE NON EXISTENCE POUR UNE EQUATION ELLIPTIQUE NON LINEAIRE A L'EXPOSANT CRITIQUE. LE DEUXIEME EST CONSACRE A L'ETUDE D'EQUATIONS DES ONDES AVEC DISSIPATION NON LINEAIRE. ON MONTRE L'EXISTENCE DE SOLUTIONS GLOBALES RETROGRADES ET ON OBTIENT DES ESTIMATIONS OPTIMALES SUR LES CONSTANTES DEPENDANTES DE L'ENERGIE INITIALE APPARAISSANT DANS LES ESTIMATIONS SUR LA DECROISSANCE DE L'ENERGIE. DANS LE TROISIEME CHAPITRE ON ETUDIE LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS DES EQUATIONS DU TOURBILLON EN DIMENSIONS DEUX ET TROIS LORSQUE LE TEMPS TEND VERS L'INFINI. POUR CERTAINES CLASSES DE DONNEES ON MONTRE QUE LES SOLUTIONS SE RAPPROCHENT DE SOLUTIONS AUTOSEMBLABLES DES EQUATIONS DU TOURBILLON CONVENABLEMENT CHOISIES.