DANS CE RAPPORT DE THESE, DIVERS ASPECTS THEORIQUES ET PRATIQUES ONT ETE ABORDES. A PARTIR DE L'APPROCHE GEOMETRIQUE DECRITE ET DE LA REPRESENTATION EXPONENTIELLE DES SYSTEMES NON LINEAIRES EN TEMPS DISCRET, IL A ETE POSSIBLE D'INTRODUIRE UNE CLASSIFICATION DES SYSTEMES NON LINEAIRES EN TEMPS DISCRET AVEC INCERTITUDES PARAMETRIQUES EN PLUSIEURS CLASSES DITES FORMES DE BOUCLAGE PARAMETRIQUE. CETTE CLASSIFICATION EST FAITE SUIVANT DES DEFINITIONS PRECISES. DES CONDITIONS NECESSAIRES ET SUFFISANTES SONT DONNEES POUR L'EQUIVALENCE A CES FORMES VIA UN CHANGEMENT DE COORDONNEES INDEPENDANT DES PARAMETRES. CETTE CLASSIFICATION A PERMIS DE BIEN CERNER LE PROBLEME DE LA COMMANDE ADAPTATIVE DES SYSTEMES NON LINEAIRES EN TEMPS DISCRET. EN PARTICULIER, NOUS AVONS MONTRE QUE LE PROBLEME POUVAIT ETRE ABORDE PAR UNE APPROCHE TYPE LYAPUNOV POUR LA CLASSE DES SYSTEMES POUVANT SE METTRE SOUS LA DEUXIEME FORME DE BOUCLAGE PARAMETRIQUE STRICT. L'APPROCHE GEOMETRIQUE PERMET AUSSI, DANS LE CAS DE MESURE PARTIELLE DE L'ETAT, DE DONNER DES CONDITIONS NECESSAIRES ET SUFFISANTES DEFINISSANT UNE CLASSE DE SYSTEMES POUR LAQUELLE LA SYNTHESE D'UN OBSERVATEUR CONDUISANT A UNE DYNAMIQUE DE L'ERREUR D'OBSERVATION LINEAIRE EST DIRECTE. NOUS AVONS VERIFIE QU'UNE CONDITION NECESSAIRE POUR QUE LES SYSTEMES SOUS ECHANTILLONNAGE, PUISSENT SE METTRE SOUS L'UNE DES FORMES DEFINIES DANS CETTE THESE EST QUE LES SYSTEMES CONTINUS INITIAUX PEUVENT SE METTRE SOUS LA FORME ANALOGUE EN TEMPS CONTINU. POUR LES APPLICATIONS, NOUS AVONS MONTRE L'EFFICACITE DE LA COMMANDE NON LINEAIRE A ECHELLES DE TEMPS MULTIPLES FACE A LA COMMANDE LINEARISANTE CLASSIQUE. CECI A ETE MIS EN EVIDENCE A PARTIR D'ESSAIS REELS. DEUX METHODES D'ESTIMATION DES HARMONIQUES D'INDUCTANCE EN VUE DE LA REDUCTION DES PULSATIONS DE COUPLE D'UNE MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS PERMANENTS ONT ETE EGALEMENT IMPLANTEES. LES RESULTATS OBTENUS LAISSENT PRESAGER QU'IL FAUDRAIT UTILISER UN MODELE PLUS PRECIS DE LA MACHINE.

Présentation d'une méthodologie pour la conception d'une loi de commande par calculateur numérique d'un système non linéaire

Les travaux de cette thèse portent sur les problèmes d'analyse de stabilité et de synthèse de commande de systèmes non-linéaires à commutations en temps discret. Nos résultats obtenus sont fondés sur une nouvelle fonction de Lyapunov-Lur'e adaptée au temps discret. Nous reprenons le problème classique d'analyse de stabilité globale de systèmes linéaires connectés à une non-linéarité du type secteur borné. Notre fonction permet de traiter une classe de non-linéarités plus générale que celle des approches fondées sur la fonction de Lur'e classique. Ensuite, la stabilité locale et la synthèse de commande de ces systèmes avec une loi de commande non-linéaire saturée sont résolues en considérant les lignes de niveau de notre fonction de Lyapunov comme estimation du bassin d'attraction de l'origine. Notre estimation est composée par des ensembles non-connexes et non-convexes qui s'adaptent bien à l'allure du bassin d'attraction et donc est moins conservative que les ensembles ellipsoïdaux. Nous étendons nos résultats pour étudier les systèmes à commutations lorsque chacun des modes présente une non-linéarité du type secteur et la saturation. D'une part, en supposant que la loi de commutation est arbitraire, nous obtenons des conditions suffisantes pour assurer la propriété de stabilité pour toute loi de commutation. Dans ce cadre, notre fonction s'avère intéressante afin de fournir une estimation bien adaptée au bassin d'attraction. D'autre part, en considérant la loi de commutation comme une variable de commande, nous proposons une stratégie de commutation sur le minimum des fonctions de Lyapunov modales. Cette stratégie définit des partitions de l'espace d'état relatives à l'activation des modes qui ne sont pas uniquement des régions coniques, normalement exhibées par des approches fondées sur les fonctions quadratiques commutées.

L'analyse et la synthèse des systèmes dynamiques ont connu un développement important au cours des dernières décennies comme l'atteste le nombre considérable des travaux publiés dans ce domaine, et continuent d'être un axe de recherche régulièrement exploré. Si la plupart des travaux concernent les systèmes linéaires et non linéaires temps continu, peu de résultats ont étaient établis dans le cas temps discret. Les travaux de cette thèse portent sur l'observation et la commande d'une classe de systèmes non linéaires à temps discret. Dans un premier temps, le problème de synthèse d'observateur d'état utilisant une fenêtre de mesures glissante est abordé. Des conditions de stabilité et de robustesse moins restrictives sont déduites. Deux classes de systèmes non linéaires à temps discret sont étudiées : les systèmes de type Lipschitz et les systèmes « one-sided Lipschitz ». Ensuite, une approche duale a été explorée afin de déduire une loi de commande stabilisante basée sur un observateur. Les conditions d'existence d'un observateur et d'un contrôleur stabilisant les systèmes étudiés sont formulées sous forme d'un problème d'optimisation LMI. L'efficacité et la validité des approches présentées sont montrées à travers des exemples académiques.

Cet ouvrage présente les fondements de l'analyse et de la synthèse de la loi de commande pour les systèmes non linéaires. Consacrée à l'analyse, la première partie aborde la détermination de l'amplitude et de la fréquence des cycles limites par la méthode du premier harmonique. Il présente la définition de la stabilité, au sens de Lyapunov, pour les points d'équilibre, et les théorèmes associés. La propriété de passivité et ses conséquences sont développées permettant de garantir la stabilité d'un système linéaire comportant une non-linéarité de type statique. Abordant la synthèse, la troisième partie met l'accent sur les techniques de linéarisation. Il est question de la technique de linéarisation entrée-sortie et celle de la linéarisation entrée-état par bouclage et changement de coordonnées. On y précise également comment les théorèmes de stabilité au sens de Lyapunov permettent d'établir des lois de commande associées. Dans cette optique, les systèmes composites et ceux en cascade sont examinés, et en particulier la technique dite du backstepping.Ces deux parties sont reliées par les outils de géométrie différentielles, objets de la deuxième partie comprenant l'exposition des concepts de variété différentiable, de difféomorphisme, de champs de vecteurs, de dérivée de Lie et du crochet de Lie de deux champs de vecteurs. Un accent particulier est mis sur la notion duale, c'est-à-dire celle des 1-forme différentielles, ce qui rend possible, outre une démonstration élégante du théroème de Frobenius utilisé pour la linéarisation exacte dans la partie consacrée à la synthèse, l'exposition de plusieurs méthodes d'intégration de-formes exactes et intégrables, dont la méthode des gradients variables est issue qu'on utilise lors de la construction de fonctions de Lyapunov dans la partie consacrée à l'analyse.

Cet ouvrage présente une introduction très didactique aux fondements les plus complexes des systèmes non-linéaires. Les techniques modernes de modélisation en représentation d’état ainsi que les signatures des systèmes non-linéaires sont illustrées par de nombreux exemples et applications. Chaque chapitre de l’ouvrage se termine par une série d'exercices avec des solutions détaillées. Il s’adresse aux étudiants de licence, de master ainsi qu’aux jeunes doctorants dans les domaines des sciences et techniques de l’ingénieur dont particulièrement le génie électrique, le génie mécanique, la mécatronique et l’aéronautique. Il intéresse également les futurs ingénieurs dans les mêmes domaines.