Ce travail est consacré à l'étude de quelques modèles d'écoulements de fluides miscibles et faiblement compressibles. Les problèmes considérés interviennent dans la modélisation de la contamination des nappes phréatiques par des espèces radioactives, ou de l'exploitation de réservoirs pétroliers. La modélisation des phénomènes conduit à l'étude de systèmes d'équations aux dérivées partielles de type parabolique. Plusieurs équations de type diffusion-convection, modélisant le transport de chaque espèce en solution, sont couplées à l'équation gouvernant le champ des vitesses de Darcy. A cela peut s'ajouter une équation régissant la diffusion de la chaleur. Ce mémoire comprend 3 parties distinctes : -Ecoulements de contaminants radioactifs en milieu poreux : nous donnons le système des équations aux dérivées partielles qui traduisent les lois de conservation de masse et d'énergie. Nous prenons en compte les mécanismes physico-chimiques les plus importants. Nous étudions ensuite l'existence de solutions dans différents cadres physiques ; -Homogénéisation d'écoulements tridimentionnels : l'objet de cette partie est la modélisation dans un milieu naturellement fracturé, ainsi que dans un milieu aux caractéristiques physiques fortement oscillantes ; -Modèles d'écoulements unidimensionnel : cette restriction de la dimension nous permet de traiter des termes non linéaires de couplage supplémentaires. Cette partie est constituée d'une étude d'homogénéisation, et de l'analyse mathématique d'un modèle dans lequel on néglige le terme de dispersion

CE TRAVAIL PROPOSE DES METHODES DE CALCUL DE LA PERMEABILITE EQUIVALENTE EN SUPPOSANT CONNUES LES PERMEABILITES LOCALES. EN EFFET, LES ECHELLES AUXQUELLES SONT EFFECTUEES LES MESURES DE PERMEABILITE ET LES ECHELLES AUXQUELLES SONT REALISES LES MODELES GEOLOGIQUES (PAR EXEMPLE GEOSTATISTIQUES) NE SONT PAS COMPATIBLES AVEC LA TAILLE DES MAILLES DES MODELES NUMERIQUES D'ECOULEMENT. POUR MODELISER LES ECOULEMENTS EN MILIEUX POREUX HETEROGENES, IL EST DONC NECESSAIRE DE CALCULER LES PERMEABILITES EQUIVALENTES. LE PREMIER RESULTAT ORIGINAL EST UNE METHODE RAPIDE, LA RENORMALISATION SIMPLIFIEE, QUI PERMET D'OBTENIR UN DEGRE DE PRECISION EQUIVALENT A CELUI DE LA MEILLEURE TECHNIQUE RAPIDE TESTEE, MAIS AVEC UN GAIN DE TEMPS D'UN FACTEUR QUATRE. LE SECOND RESULTAT ORIGINAL EST UNE METHODE PERMETTANT LE CALCUL DU TENSEUR COMPLET DE PERMEABILITE. CETTE METHODE PRESENTE L'AVANTAGE DE POUVOIR S'ETENDRE A L'AVENIR POUR LA MESURE DU TENSEUR DE PERMEABILITE AU LABORATOIRE, CE QUI AVEC LES TECHNIQUES EXISTANTES N'ETAIT PAS REALISABLE AISEMENT. DE PLUS, LE TRAVAIL PRESENTE UNE SYNTHESE BIBLIOGRAPHIQUE DES TECHNIQUES DE CALCUL DE LA PERMEABILITE EQUIVALENTE ET LA COMPARAISON DE PLUSIEURS DE CES TECHNIQUES A L'AIDE D'EXPERIENCES NUMERIQUES D'ECOULEMENTS MONOPHASIQUES PUIS DIPHASIQUES SUR DES MILIEUX HETEROGENES REELS OU SYNTHETIQUES. LE PROBLEME DU BIAIS DES MODELES NUMERIQUES EST EGALEMENT ABORDE.

Analyse d'écoulements compressibles régis par une loi quadratique de perte de charge. La modélisation conduit à une équation parabolique non linéaire dégénérée. Approximation numérique d'un problème à frontière libre d'évolution, modélisant le déplacement de l'interface de deux fluides non miscibles incompressibles. Homogénéisation d'équations hyperboliques du premier ordre intervenant dans deux modèles d'écoulements miscibles incompressibles.

Cette thèse est une étude de systèmes d'équations aux dérivées partielles issues d'un modèle d'écoulement des fluides étudié en ingénierie pétrolière. Au départ, un système fortement couplé de trois équations non linéaires, de type parabolique, exprime les relations entre la pression et les saturations en eau et en huile. Le premier chapitre traite de la semi-discrétisation en temps du système par la méthode d'Euler rétrograde. On démontre l'existence d'une solution au système obtenu (méthode de point fixe), mais pas l'unicité, et on prouve que les saturations approchées sont positives et inférieures à un. Le deuxième chapitre étudie l'approximation, par une méthode d'éléments finis, du problème semi-discrétisé et on montre l'existence d'une solution, sans résultat de signe pour les saturations. Les deux chapitres suivants reprennent ce schéma pour un problème simplifié, à deux inconnues (saturation en huile et pression) en utilisant une formulation variationnelle mixte et une méthode d'éléments finis mixte. Au dernier chapitre on étudie une méthode hybride d'éléments finis ou l'une des inconnues approche les valeurs de la saturation sur les cotes de la triangulation. Une modification des espaces permet de montrer que la matrice du système relatif à cette inconnue est une m-matrice. En annexe on étudie une méthode d'éléments finis mixte pour une équation elliptique sur un domaine ayant une frontière courbe et on utilise des éléments courbes pour conserver l'ordre naturel d'approximation lorsque la frontière est suffisamment régulière.

Dans ce travail, on considère la modélisation des écoulements dans des hydro-systèmes comprenant des sols et des aquifères géologiquement complexes et hétérogènes. On considèrera par exemple le cas d'un aquifère côtier soumis à l'intrusion saline, avec couplage densitaire (eau douce / eau salée), phénomène auquel peuvent se greffer d'autres couplages (écoulements à saturation variable, couplages surface / souterrain). On choisit une approche ayant les caractéristiques suivantes : - le modèle est spatialement distribué afin de représenter l'hétérogénéité du milieu ; - le modèle est fortement couplé afin d'appréhender les écoulements dans leur complexité physique. On utilise dans ce but un modèle fortement intégré, à une seule équation générique de type EDP, basée sur une loi de Darcy généralisée permettant de décrire différents "régimes" d'écoulements la co-existant dans un même domaine, tout en conservant robustesse et efficacité. Le travail est divisé en trois parties : dans une première partie on élabore un nouveau modèle numérique 3D, pour la modélisation des écoulements en milieux poreux à densité variable dans l’hypothèse d'une interface abrupte. Ce nouveau modèle est basé sur des relations "effectives" non linéaires de saturation et de perméabilité, dans une équation d'écoulement de type Richards modifiée. La seconde partie correspond à l'élaboration et l'implémentation d'un modèle verticalement intégré d'intrusion saline en aquifère côtier, permettant d'étudier l'effet de l'hétérogénéité stochastique de l'aquifère. Le modèle, basé sur l'hypothèse "interface abrupte", est implémenté comme un module "2D" dans le code volumes finis BigFlow2D/3D. Le nouveau module 2D est utilisé pour analyser la variabilité de l"interface eau douce / eau salée par simulations stochastiques de type Monte Carlo à échantillonnage spatial (réalisation unique). Ces résultats sont comparés à nouvelle théorie, où l"interface aléatoire auto-corrélée est analysée par transformation de variable, combinée à une méthode de perturbation et à une représentation spectrale (Fourier / Wiener-Khinchine). Dans la troisième et dernière partie, on présente un modèle de couplage fortement "intégré" pour la modélisation des écoulements de surface et souterrain en hypothèses d'écoulement plan, verticalement hydrostatique. On s'intéresse au cas d'une vallée fluviale avec cours d'eau, plaine d'inondation, et nappe d'accompagnement. L'écoulement en surface est modélisé par l'équation d'onde diffusante et l'écoulement souterrain par l'équation de Dupuit-Boussinesq. Ce modèle couplé est appliqué à la vallée fluviale de la Garonne dans la région de Toulouse - Moissac (France). Cette application a nécessité l'élaboration d'une méthode d'interpolation géostatistique adaptée à l'élaboration d'un Modèle Intégré Numérique de Terrain ("MINT"), de façon à inclure le fond de la rivière au MNT topographique en haute résolution. Enfin, au-delà de cette application particulière, le modèle d'écoulement couplé surface / souterrain est généralisé au cas d'un couplage densitaire eau douce / eau salée, lorsque la nappe est sujette à l'intrusion saline au voisinage d'une embouchure ou d'un estuaire.

DES RESULTATS THEORIQUES ET EXPERIMENTAUX CONCERNANT LES ECOULEMENTS POLYPHASIQUES EN MILIEU POREUX HETEROGENE DE TYPE NODULAIRE SONT PRESENTES. L'ETUDE THEORIQUE EST BASEE SUR LE CAS QUASI STATIQUE DE LA METHODE DE PRISE DE MOYENNE A GRANDE ECHELLE. L'ETUDE EXPERIMENTALE CONSISTE EN LA REALISATION D'ECOULEMENTS DIPHASIQUES (EAU-HUILE) DANS DES MILIEUX POREUX A HETEROGENEITE NODULAIRE. LES RESULTATS MONTRENT UNE DIFFERENCE DE COMPORTEMENT ENTRE LE SYSTEME OU LES NODULES SONT CONSTITUES DU MILIEU LE PLUS PERMEABLE ET LE SYSTEME OU LES NODULES SONT CONSTITUES DU MILIEU LE MOINS PERMEABLE. LES RESULTATS EXPERIMENTAUX ILLUSTRENT, PAR AILLEURS, L'EXISTENCE DES EFFETS DYNAMIQUES, DONT L'INTERPRETATION EXIGE UN RECOURS A LA VERSION GENERALE DE LA THEORIE DE PRISE DE MOYENNE A GRANDE ECHELLE.

DES SIMULATIONS NUMERIQUES D'ECOULEMENTS DE FLUIDES NEWTONIENS INCOMPRESSIBLES EN REGIME PERMANENT SONT REALISEES PAR UNE METHODE D'ELEMENTS FINIS EN PRESENCE DE MILIEUX POREUX DE TYPE FIBREUX. LA RESOLUTION ASSOCIE LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES ET LA LOI DE DARCY POUR PLUSIEURS CONDITIONS DE FRONTIERES. SUIVANT LES CAS, LE MILIEU POREUX EST HOMOGENE, HETEROGENE, OU CONSTITUE DE BANDES POREUSES PARALLELES REPRESENTANT DES ESPACEMENTS ENTRE FILS OU DES ENDOMMAGEMENTS ACCIDENTELS. L'ANALYSE DU CHAMP DES VITESSES PERMET DE METTRE EN EVIDENCE L'INFLUENCE DU MILIEU FIBREUX SUR L'ECOULEMENT ET SON EVOLUTION SUIVANT LES CHANGEMENTS DES PARAMETRES HYDRAULIQUES (PERMEABILITE) ET STRUCTURAUX TELS QUE LE NOMBRE DE FENTES, LA POROSITE D'OUVERTURE... L'ETUDE DES VARIATIONS DU CHAMP DES PRESSIONS PERMET D'EVALUER LES PERTES DE PRESSIONS OCCASIONNEES PAR LA PRESENCE DU MILIEU POREUX SELON SES DIFFERENTES CONFIGURATIONS. A PARTIR DU CHAMP DES CONTRAINTES, LA DETECTION DE ZONES DE CONTRAINTES PARTICULIERES COMME LES ZONES DE CISAILLEMENT PUR ET D'ELONGATION PURE, EST UN MOYEN POUR DETERMINER LE COMPORTEMENT DE PARTICULES DEFORMABLES CHARGEANT LE FLUIDE. DANS LE CAS DE STRUCTURES FIBREUSES NON TISSEES, LA METHODE DES BOITES A PERMIS D'IDENTIFIER POUR CERTAINES LEUR NATURE FRACTALE. DE NOUVEAUX MODELES DE RESEAUX DE DROITES SONT PROPOSES. LEUR CONSTRUCTION EST SOIT REGULIERE, SOIT FRACTALE, SOIT DE TYPE ALEATOIRE. LA DETERMINATION DES PARAMETRES HYDRAULIQUES DE CES MODELES PERMET DE LES REINJECTER DANS LA SIMULATION NUMERIQUE DECRITE CI-DESSUS.