This work is concerned with the development of a flexible and efficient arbitrary high-order Discontinuous Galerkin Time Domain (DGTD) method for solving time-domain Maxwell’s equations on unstructured simplicial meshes, relying on explicit time integration schemes. Electromagnetic field components are approximated locally by polynomial interpolation methods and continuity between neighbouring, elements is weakly enforced by a centred scheme for the calculation of the numerical flux across mesh interfaces. The aim of this PhD thesis is to fulfil two complementary objectives. On one hand, to improve the polynomial approximation flexibility in view of the development of p-adaptive DGTD methods by studying various polynomial interpolation methods. Several aspects such as the modal or nodal nature of the associated set of basis functions, their possible hierarchical structure, the conditioning of the elementary matrices to be inverted, the spectral properties of the interpolation or the programming simplicity are investigated. On the other hand, to increase the efficiency of the temporal approximation on locally refined meshes by using a local time stepping strategy. We finally develop in this work a high performance computing methodology to exploit the inherent locality and parallelism of DGTD methods combined with the GPU computing capabilities. The combination of these brand features result in worth improvement of efficiency and in significant reduction of the computational time.

Ce travail porte sur le développement d'une méthode Galerkin discontinue (GDDT) d'ordre élevé pour la résolution numérique des équations de Maxwell instationnaires sur des maillages simplexes non-conformes. On présente tout d'abord une méthode GDDT reposant sur des fonctions de base nodales pour approcher le champ électromagnétique dans un simplexe, un schéma centré pour évaluer les flux numériques aux interfaces entre cellules voisines et un schéma saute-mouton du second ordre pour l'intégration temporelle. De plus, cette méthode autorise l'utilisation de maillages non-conformes présentant un nombre arbitraire de nœuds flottants. La méthode résultante est non-dissipative, stable sous une condition de type CFL, conserve un équivalent discret de l'énergie électromagnétique, et très peu dispersive. Afin de diminuer le coût de calcul de cette méthode, on propose une méthode GDDT de type hp, qui combine h-raffinement et p-enrichissement locaux tout en préservant la stabilité. On réalise ensuite une étude numérique détaillée des méthodes GDDT sur la base d'une série de problèmes de propagation d'ondes en milieux homogène et hétérogène. En particulier, on effectue une comparaison des méthodes Galerkin discontinues conformes et non-conformes en termes de précision, convergence et coûts de calcul. Afin d'améliorer la précision et la vitesse de convergence des méthodes GDDT précédentes, on étudie une famille de schémas saute-mouton d'ordre arbitrairement élevé. Ces schémas temporels nous assurent sur tout maillage la conservation d'un équivalent discret de l'énergie électromagnétique ainsi que la stabilité des méthodes GDDT résultantes sous une condition de type CFL. On réalise aussi une étude de convergence hp a priori ainsi qu'une étude de convergence de l'erreur sur la divergence. Des expériences numériques montrent que pour un maillage donné, le schéma saute-mouton du quatrième ordre est moins coûteux en temps de calcul et plus précis que le schéma saute-mouton du second ordre, en dépit d'une complexité arithmétique accrue. De plus, on obtient une convergence exponentielle avec le schéma saute-mouton du quatrième ordre.

L’objectif général de cette étude est le développement et l’évaluation des schémas en temps efficaces pour des méthodes de type Galerkin discontinu (GD) en maillages tétraédriques non structurés pour la résolution numérique des équations de Maxwell en domaine temporel. Dans la première partie de cette thèse nous rappelons les équations de Maxwell et faisons une rapide revue des principales méthodes numériques utilisées pour résoudre ce système. Dans la seconde partie de cette thèse nous présentons la méthode Galerkin discontinue basée sur des approximations centrées d’ordre générique. Dans ce chapitre nous nous intéresserons qu’aux schémas en temps explicite. Nous détaillerons dans le troisième chapitre la partie principale de ce travail de thèse, c’est-à-dire les schémas implicites en temps, plus particulièrement le schéma implicite très étudié dans la littérature de Crank-Nicolsonn et dans un second temps un schéma implicite d’ordre 4 obtenu à l’aide de la technique du défaut corrigé. Nous réalisons une étude comparative de deux solveurs (direct et intératif) pour la résolution du système linéaire au chapitre 4. Pour des questions d’espace mémoire, nous nous intéressons au chapitre 5 à appliquer le schéma implicite à un sous ensemble du domaine de calcul. Pour cela nous utilisons un schéma hybride explicite/implicite. Au chapitre6, nous présentons les résultats 3D obtenus avec cette méthode. Les problèmes considérés ont plusieurs millions d’inconnues.

Cette thèse porte sur l'étude d'une méthode de type Galerkin discontinu en domaine temporel (GDDT), afin de résoudre numériquement les équations de Maxwell instationnaires sur des maillages hybrides tétraédriques/hexaédriques en 3D (triangulaires/quadrangulaires en 2D) et non-conformes, que l'on note méthode GDDT-PpQk. Comme dans différents travaux déjà réalisés sur plusieurs méthodes hybrides (par exemple des combinaisons entre des méthodes Volumes Finis et Différences Finies, Éléments Finis et Différences Finies, etc.), notre objectif principal est de mailler des objets ayant une géométrie complexe à l'aide de tétraèdres, pour obtenir une précision optimale, et de mailler le reste du domaine (le vide environnant) à l'aide d'hexaèdres impliquant un gain en terme de mémoire et de temps de calcul. Dans la méthode GDDT considérée, nous utilisons des schémas de discrétisation spatiale basés sur une interpolation polynomiale nodale, d'ordre arbitraire, pour approximer le champ électromagnétique. Nous utilisons un flux centré pour approcher les intégrales de surface et un schéma d'intégration en temps de type saute-mouton d'ordre deux ou d'ordre quatre. Après avoir introduit le contexte historique et physique des équations de Maxwell, nous présentons les étapes détaillées de la méthode GDDT-PpQk. Nous réalisons ensuite une analyse de stabilité L2 théorique, en montrant que cette méthode conserve une énergie discrète et en exhibant une condition suffisante de stabilité de type CFL sur le pas de temps, ainsi que l'analyse de convergence en h (théorique également), conduisant à un estimateur d'erreur a-priori. Ensuite, nous menons une étude numérique complète en 2D (ondes TMz), pour différents cas tests, des maillages hybrides et non-conformes, et pour des milieux de propagation homogènes ou hétérogènes. Nous faisons enfin de même pour la mise en oeuvre en 3D, avec des simulations réalistes, comme par exemple la propagation d'une onde électromagnétique dans un modèle hétérogène de tête humaine. Nous montrons alors la cohérence entre les résultats mathématiques et numériques de cette méthode GDDT-PpQk, ainsi que ses apports en termes de précision et de temps de calcul.

L’objectif général de cette étude est le développement et l’évaluation de méthodes de type Galerkin dicontinu (GD) en maillages tétraédriques non-structurés pour la résolution numérique des équations de Maxwell en formulation du premier ordre et en régime harmonique. Dans la première partie de cette thèse, nous formulons et analysons des méthodes Galerkin discontinu basées sur des approximations centrées d’ordre 0 (méthode de volumes finis ou GD-PO) et d’ordre 1 (méthode de type Galerkin dicontinu linéaire ou PD-P1). La seconde partie est consacrée à l’étude de méthodes de décomposition de domaine pour la résolution des systèmes algébriques issus de la discrétisation par des méthodes GD des équations de Maxwell en régime harmonique. On considère tout d’abord le système continu et on analyse la convergence d’algorithmes de Schwarz sans ou avec recouvrement basés sur des conditions d’interface naturelles. Ces conditions consistent à imposer aux interfaces les variables caractéristiques associées aux ondes entrantes dans un domaine. On s’intéresse ensuite à la convergence de ces algorithmes dans le cas discret sur la base de la méthode d’approximation volume fini (méthode GD P0) formulée sur un maillage quadrangulaire. On étudie enfin des conditions d’interface optimisées ayant pour but d’accélérer la convergence de l’algorithme de Schwarz sans recouvrement. Des tests préliminaires en 2D permettent de montrer clairement les gains résultant de l’utilisation de ces conditions. La troisième partie de la thèse est dédiée à l’évaluation numérique des méthodes d’approximation G-P0 et GD-P1 en maillages tétraédriques. On considère pour cela une série de cas tests de complexité croissante pourtant sur des problèmes de diffraction en milieux homogènes et hétérogènes. En particulier, on évalue en détail les performances parallèles d’un algorithme de Schwarz avec recouvrement basé sur des conditions d’interface naturelles. On présente notamment les résultats de calculs portant sur plusieurs millions d’inconnues.

The subject of this thesis is the study various problems of electromagnetism wich derive from Maxwell's equations by the discontinuous Galerkin method. In a first part, we present a study of a mixed formulation for the resolution of an electrostatic problem on frequency domain. Some results of existence and uniqueness of solutions are schown. A priori error estimates are obtained by using one standart method. Some numerical results proving the convergence of the formulation are obtained. In a second part, we propose one discontinuous Galerkin method in space and Newmark type in time for the resolution of the wave equation deriving from the Maxwell's equations. Some optimal hp-estimates are obtained by using one standart method and the Gronwall Lemma. Also some numerical results are given. Finally, we present one LDG-FEM and BEM coupling model to calculate the magnetic field on the whole space \R^3. Some error analysis are based on the technique of I. Perugia et all. are obtained. The numerical study of the coupling model is one objectif in the future.

CE TRAVAIL A CONSISTE ESSENTIELLEMENT EN L'ELABORATION D'UN NOUVEAU SOLVEUR DES EQUATIONS DE MAXWELL DANS LE DOMAINE TEMPOREL ET POUR DES MAILLAGES NON STRUCTURES, AINSI QU'AU DEVELOPPEMENT DE LOGICIELS BIDIMENSIONNEL ET TRIDIMENSIONNEL. CETTE METHODE EST ISSUE D'UNE TECHNIQUE DE VOLUMES FINIS LARGEMENT UTILISEE EN MECANIQUE DES FLUIDES ET DEVELOPPEE AU CERMICS ET A L'INRIA SOPHIA-ANTIPOLIS. L'AVANTAGE PRINCIPAL DE LA METHODE PROPOSEE EST LA CONSTRUCTION ASSEZ IMMEDIATE ET A UN FAIBLE COUT EN DIMENSION TROIS D'ESPACE DE SCHEMAS EXPLICITES DECENTRES DU TROISIEME ORDRE A LA FOIS EN TEMPS ET EN ESPACE ; LES MAILLAGES CONSIDERES SONT DE TYPE ELEMENTS FINIS NON STRUCTURES. NOUS PRESENTONS DANS UN PREMIER TEMPS LES EQUATIONS DE MAXWELL SOUS FORME CONSERVATIVE, LE CARACTERE HYPERBOLIQUE DU SYSTEME DE MAXWELL, AINSI QUE LA METHODE NUMERIQUE UTILISEE. LA SECONDE PARTIE EST PLUS PARTICULIEREMENT AXEE SUR DES CALCULS DE SURFACE EQUIVALENTE RADAR. DE NOMBREUX CAS TESTS NUMERIQUES DE VALIDATION EN DEUX ET TROIS DIMENSIONS Y FIGURENT. UN SOLVEUR DE RIEMANN EXACT ADAPTE AUX MILIEUX HETEROGENES ET AUX FORTES VARIATIONS D'INDICES DE MATERIAUX A EGALEMENT ETE DEVELOPPE ET LA PARALLELISATION DE L'ALGORITHME A ETE REALISEE A LA FOIS SUR DES ARCHITECTURES SIMD ET MIMD. ENFIN, UN COUPLAGE DES EQUATIONS DE VLASOV ET DE MAXWELL POUR LA MODELISATION DU TRANSPORT DE PARTICULES CHARGEES DANS DES CHAMPS ELECTROMAGNETIQUES A EGALEMENT ETE REALISE